Задание №16 — Кредиты

Задание №16

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 545000 рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 40 % по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение:
Для анализа условий задачи введём следующие обозначения: пусть $S = 545000$ рублей — это первоначальное тело кредита, $x$ рублей — фиксированная сумма ежегодного взноса. Также определим коэффициент $k = 1 + \frac{40}{100} = 1{,}4$ , который показывает рост задолженности после начисления годовых процентов.

Год	Остаток долга (руб.)	Долг с учётом % (руб.)	Выплата (руб.)
1	$S$	$kS$	$x$
2	$kS - x$	$k(kS - x) = k^{2}S - kx$	$x$
3	$k^{2}S - kx - x$	$k(k^{2}S - kx - x) = k^{3}S - k^{2}x - kx$	$x$

Исходя из того, что после третьей выплаты задолженность становится равной нулю, получаем равенство:
$k^{3} S - k^{2} x - kx - x = 0$ , что эквивалентно $k^{3} S - k^{2} x - kx = x$ .
Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ :
$x (k^{2} + k + 1) = k^{3} S$ .
Используя формулу суммы геометрической прогрессии, запишем:
$x \cdot \frac{k^{3} - 1}{k - 1} = k^{3} S$ .
Отсюда выражаем величину ежегодного платежа:
$x = \frac{S \cdot k^{3} \cdot (k - 1)}{k^{3} - 1} = \frac{545000 \cdot 1{,}4^{3} \cdot 0{,}4}{1{,}4^{3} - 1} = \frac{545000 \cdot 2{,}744 \cdot 0{,}4}{1{,}744} = 343000$ рублей.
Общая сумма, которую заёмщик вернул банку за три года, рассчитывается как $3x$ .
Следовательно, итоговая выплата составит: $3 \cdot 343000 = 1029000$ рублей.

Ответ: 1029000

Источник: ФИПИ

Задание №16