Задание №15 — Логарифмические неравенства

Решение:
Для начала преобразуем данное неравенство, представив аргументы логарифмов в виде произведений:
$\log _{3} \left(( 2 - x ) \left(x^{2} + 5\right)\right) \geq \log _{3} \left(( 2 - x ) ( 3 - x )\right) + \log _{3} ( 4 - x ) .$
Воспользуемся свойством логарифма произведения и разложим выражения:
$\log _{3} ( 2 - x ) + \log _{3} \left(x^{2} + 5\right) \geq \log _{3} ( 2 - x ) + \log _{3} ( 3 - x ) + \log _{3} ( 4 - x ) .$
Определим область допустимых значений. Исходя из условия положительности аргументов, получаем ограничение $x < 2$. При соблюдении этого условия мы можем упростить неравенство, вычтя $\log _{3} ( 2 - x )$ из обеих частей:
$\log _{3} \left(x^{2} + 5\right) \geq \log _{3} \left(( 3 - x ) ( 4 - x )\right) .$
Так как основание логарифма $3 > 1$, переходим к сравнению аргументов с сохранением знака:
$x^{2} + 5 \geq ( 3 - x ) ( 4 - x ) .$
Раскроем скобки в правой части и приведем подобные слагаемые:
$x^{2} + 5 \geq x^{2} - 7 x + 12 ;$
$7 x \geq 7 ,$ что дает нам $x \geq 1 .$
Сопоставив полученный результат с начальным условием $x < 2$, находим итоговое множество решений: $1 \leq x < 2 .$

Обоснованно получен верный ответ — 2 балла
Если в ответе ошибочно исключена точка 1 или допущена одна вычислительная ошибка при верном алгоритме решения — 1 балл
В остальных случаях, не подходящих под критерии выше — 0 баллов

Ответ: $[ 1 ; 2 )$

Источник: ФИПИ