Задание №16 — Логарифмические неравенства

Решение:
Для начала преобразуем данное неравенство, используя свойства логарифмов:
$\log _{5} ( ( 3 - x ) ( x^{2} + 2 ) ) \geq \log _{5} ( ( 3 - x ) ( 4 - x ) ) + \log _{5} ( 5 - x )$
Разложим логарифмы произведений на суммы:
$\log _{5} ( 3 - x ) + \log _{5} ( x^{2} + 2 ) \geq \log _{5} ( 3 - x ) + \log _{5} ( 4 - x ) + \log _{5} ( 5 - x ) .$
Найдём область допустимых значений. Выражения под логарифмами должны быть положительными, что в данном случае сводится к условию $x < 3$. При соблюдении этого ограничения слагаемое $\log _{5} ( 3 - x )$ определено, и его можно взаимно уничтожить в обеих частях неравенства:
$\log _{5} ( x^{2} + 2 ) \geq \log _{5} ( ( 4 - x ) ( 5 - x ) ) .$
Так как основание логарифма $5 > 1$, переходим к сравнению аргументов с сохранением знака:
$x^{2} + 2 \geq ( 4 - x ) ( 5 - x ) ;$
Раскроем скобки в правой части:
$x^{2} + 2 \geq x^{2} - 9 x + 20 ;$
Приведём подобные слагаемые и решим линейное неравенство:
$9 x \geq 18 \implies x \geq 2 .$
Сопоставив полученный результат с условием $x < 3$, находим искомый промежуток: $2 \leq x < 3$.

Правильное и обоснованное решение — 2 балла
Если в ответе ошибочно исключена точка 2 или допущена одна арифметическая ошибка при верном алгоритме действий — 1 балл
В остальных случаях, не подходящих под критерии выше — 0 баллов

Ответ: $[ 2 ; 3 )$

Источник: ФИПИ