Решение:
а) Представим исходное уравнение через разложение на множители: $$\left(2 \cos x - 1\right) \left(\cos ^{2} x + 1\right) = 0.$$ Данное равенство распадается на два случая: 1) $\cos ^{2} x = - 1$ — это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным. 2) $2 \cos x - 1 = 0$, откуда получаем $\cos x = \frac{1}{2}$. Решениями этого уравнения являются серии точек: $x = \frac{\pi}{3} + 2 \pi n$ и $x = - \frac{\pi}{3} + 2 \pi m$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.

б) Найдём корни, которые попадают в заданный промежуток $\left[2 \pi ; \frac{7 \pi}{2}\right]$, воспользовавшись тригонометрическим кругом.

Указанному отрезку соответствует единственное значение: $x = 2\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{7 \pi}{3}$.

Критерии оценивания:
Выполнены верно оба пункта — 2 балла.
Верно решён только пункт а), ИЛИ допущена арифметическая ошибка, но логика решения обоих пунктов сохранена — 1 балл.
В остальных случаях — 0 баллов.

Ответ: а) $\frac{\pi}{3} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $-\frac{\pi}{3} + 2 \pi m, m \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{7 \pi}{3}$

Источник: ФИПИ