Задание №16 — Показательные неравенства

Разбор решения:
Для упрощения выражения введём новую переменную $t = 3^{x}$ (где $t > 0$). Исходное неравенство преобразуется к следующему виду:
$$\frac{t^{2} - 6 t + 4}{t - 5} + \frac{6 t - 51}{t - 9} \leq t + 5$$
Выделим целую часть в каждой дроби левой части:
$$\frac{(t - 1)(t - 5) - 1}{t - 5} + \frac{6(t - 9) + 3}{t - 9} \leq t + 5$$
$$(t - 1) - \frac{1}{t - 5} + 6 + \frac{3}{t - 9} \leq t + 5$$
После приведения подобных слагаемых ($t + 5$ в обеих частях взаимно уничтожаются) получаем:
$$\frac{3}{t - 9} - \frac{1}{t - 5} \leq 0$$
Приведём дроби к общему знаменателю:
$$\frac{3(t - 5) - (t - 9)}{(t - 5)(t - 9)} \leq 0 \iff \frac{2t - 6}{(t - 5)(t - 9)} \leq 0 \iff \frac{t - 3}{(t - 5)(t - 9)} \leq 0$$
Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:
$t \leq 3$ или $5 < t < 9$.
Теперь выполним обратную замену для каждого промежутка:
1) Если $3^{x} \leq 3$, то, учитывая монотонность показательной функции, получаем $x \leq 1$.
2) Если $5 < 3^{x} < 9$, то, логарифмируя по основанию 3, находим $\log_{3} 5 < x < 2$.
Объединяя результаты, получаем итоговое множество решений: $x \in (-\infty; 1] \cup (\log_{3} 5; 2)$.

Критерии оценивания:
— 2 балла: решение полностью обосновано, получен правильный ответ.
— 1 балл: допущена единственная вычислительная ошибка, не влияющая на логику решения, ИЛИ из верного ответа исключена точка 1.
— 0 баллов: решение не удовлетворяет вышеуказанным требованиям.

Ответ: $(-\infty; 1] \cup (\log_{3} 5; 2)$

Источник: ФИПИ