Задание №15 — Показательные неравенства

Разбор решения:
Исходное неравенство имеет вид:
$$\frac{13 - 5 \cdot 3^{x}}{3^{2 x} - 12 \cdot 3^{x} + 27} \geq 0{,}5$$
Для упрощения выражения введём новую переменную $t = 3^{x}$, где $t > 0$. Тогда неравенство примет вид:
$$\frac{13 - 5 t}{t^{2} - 12 t + 27} \geq \frac{1}{2}$$
Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:
$$\frac{2(13 - 5t) - (t^2 - 12t + 27)}{2(t^2 - 12t + 27)} \geq 0$$
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые в числителе:
$$\frac{26 - 10t - t^2 + 12t - 27}{2(t^2 - 12t + 27)} \geq 0$$
$$\frac{-t^2 + 2t - 1}{2(t^2 - 12t + 27)} \geq 0$$
Умножим обе части на $-1$, поменяв знак неравенства, и выделим полный квадрат в числителе:
$$\frac{t^2 - 2t + 1}{2(t^2 - 12t + 27)} \leq 0 \implies \frac{(t - 1)^2}{2(t^2 - 12t + 27)} \leq 0$$
Найдём корни знаменателя $t^2 - 12t + 27 = 0$. По теореме Виета получаем: $t_1 = 3$, $t_2 = 9$.
Разложим знаменатель на множители:
$$\frac{(t - 1)^2}{(t - 3)(t - 9)} \leq 0$$
Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:

Учитывая знаки на промежутках, получаем значения для $t$:
$t \in (3; 9) \cup \{1\}$
Выполним обратный переход к переменной $x$:
1) $3^x = 1 \implies x = 0$
2) $3 < 3^x < 9 \implies 3^1 < 3^x < 3^2 \implies 1 < x < 2$
Объединяя результаты, находим итоговое множество решений: $x \in \{0\} \cup (1; 2)$.

Критерии оценивания:
2 балла: Ход решения полностью верен, получен правильный ответ.
1 балл: Допущена одна вычислительная ошибка, либо ответ отличается от верного только включением/исключением граничных точек, при этом логика решения сохранена.
0 баллов: Решение не соответствует указанным выше требованиям.

Ответ: $x \in \{0\} \cup (1; 2)$

Источник: ФИПИ