Задание №1 — Центральные и вписанные углы

Разбор задачи:
1) Рассмотрим вписанный угол $ABD$. По свойству вписанного угла, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Отсюда следует, что градусная мера дуги $AD$ в два раза больше самого угла: $◡ AD = 2 \cdot \angle ABD = 2 \cdot 61^{\circ} = 122^{\circ}$.
2) Аналогично проанализируем вписанный угол $CAD$. Он опирается на дугу $CD$, значит, величина этой дуги составляет: $◡ CD = 2 \cdot \angle CAD = 2 \cdot 37^{\circ} = 74^{\circ}$.
3) Искомый угол $ABC$ также является вписанным и опирается на дугу $AC$, которая состоит из суммы дуг $AD$ и $DC$. Таким образом: $$\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot ◡ AC = \frac{1}{2} \cdot (◡ AD + ◡ CD)$$ Подставив найденные значения, получаем: $$\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot (122^{\circ} + 74^{\circ}) = \frac{196^{\circ}}{2} = 98^{\circ}$$

Ответ: 98

Источник: ФИПИ