Задание 13

Экономическая задача · 80 заданий

Задание №13
№13
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 250000 рублей. Условия возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r \% по сравн…
Целые и дробно-рацион. ур-я
Задание №13
№13
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 4,2 млн рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает н…
Прогрессии
Задание №13
№13
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 300000 рублей. Условия возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r \% по сравн…
Прогрессии
Задание №13
№13
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 6,6 млн рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает н…
Прогрессии
Задание №13
№13
Строительство нового завода стоит 100 млн рублей. Затраты на производство x тыс. единиц продукции на таком заводе равны ( 0,5 x^2 + x + 7 ) млн рублей…
Целые и дробно-рацион. нер-ва
Задание №13
№13
В июле 2026 года Андрей планирует открыть накопительный счёт на три года. Условия по этом счету таковы: - 1 июля 2026 года Андрей помещает на счёт 819…
Прогрессии
Задание №13
№13
В июле 2026 года Андрей планирует открыть накопительный счёт на три года. Условия н этом счету таковы: - 1 июля 2026 года Андрей помещает на счёт 4880…
Прогрессии
Задание №13
№13
В июле планируется открыть вклад в банке под 20% годовых на некоторую сумму. В начале 2, 3 и 4 годов со вклада снимают одну и ту же сумму. Найдите исх…
Прогрессии
Задание №13
№13
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 9 миллионов рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого меся…
Прогрессии
Задание №13
№13
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на 9 миллионов рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы: - 1-го числа каждого месяца до…
Прогрессии
Задание №13
№13
Зависимость количества Q (в шт., 0 ⩽ Q ⩽ 20000 ) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 20000 - P . Затраты на пр…
Дроби, проценты
Задание №13
№13
Зависимость количества Q (в шт., 0 ⩽ Q ⩽ 15000 ) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 15000 - P . Затраты на пр…
Дроби, проценты

Задание №13 — Кредиты

ПрогрессииКредит с равными (аннуитетными) платежамиКредит с дифференцированными платежамиНахождение ставки или суммы кредита из уравненияСрок кредитаВклады и начисление процентовОптимизация прибыли и издержек производства

1 баллФИПИ#22909

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Найдите сумму кредита, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 34150 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Правильный ответ

165500

Пояснение

Решение:
Введем обозначения для условий задачи:
$S$ — искомая сумма кредита (в рублях);
$r = 10 \%$ — процентная ставка, тогда коэффициент увеличения долга $k = 1 + \frac{10}{100} = 1{,}1;$
$n = 3$ года — срок кредитования;
Общая сумма всех платежей по условию составляет $S + 34150$ руб.;
$x$ — величина ежегодного равного платежа.

Составим таблицу изменения задолженности по годам:

Год	Остаток долга (до начисления %)	Долг с учетом %	Платеж	Остаток после выплаты
1	$S$	$Sk$	$x$	$Sk - x$
2	$Sk - x$	$(Sk - x)k$	$x$	$(Sk - x)k - x$
3	$(Sk - x)k - x$	$((Sk - x)k - x)k$	$x$	$((Sk - x)k - x)k - x$

По истечении трех лет кредит должен быть полностью погашен, следовательно:
$((Sk - x)k - x)k - x = 0$
Раскроем скобки и выразим зависимость между $S$ и $x$ :
$S \cdot k^3 - x \cdot k^2 - x \cdot k - x = 0$
$S \cdot k^3 = x(k^2 + k + 1)$
Подставим значение $k = 1{,}1 = \frac{11}{10}$ :
$S \cdot \left(\frac{11}{10}\right)^3 = x \left(\left(\frac{11}{10}\right)^2 + \frac{11}{10} + 1\right)$
$S \cdot \frac{1331}{1000} = x \left(\frac{121}{100} + \frac{110}{100} + \frac{100}{100}\right)$
$S \cdot \frac{1331}{1000} = x \cdot \frac{331}{100}$
Отсюда ежегодный платеж равен:
$x = \frac{1331 \cdot S}{1000} \cdot \frac{100}{331} = \frac{1331}{3310} S$

Согласно условию, суммарные выплаты за 3 года равны $3x = S + 34150$ .
Подставим найденное выражение для $x$ :
$3 \cdot \frac{1331}{3310} S = S + 34150$
$\frac{3993}{3310} S - S = 34150$
$\frac{3993S - 3310S}{3310} = 34150$
$\frac{683}{3310} S = 34150$
$683 S = 34150 \cdot 3310$
$683 S = 113036500$
$S = 165500$

Ответ: 165500

Источник: ФИПИ