Задание №16 — Кредиты

Решение:
Введем обозначения для условий задачи:
$S$ — искомая сумма кредита (в рублях);
$r = 10 \%$ — процентная ставка, тогда коэффициент увеличения долга $k = 1 + \frac{10}{100} = 1{,}1;$
$n = 3$ года — срок кредитования;
Общая сумма всех платежей по условию составляет $S + 34150$ руб.;
$x$ — величина ежегодного равного платежа.

Составим таблицу изменения задолженности по годам:

По истечении трех лет кредит должен быть полностью погашен, следовательно:
$((Sk - x)k - x)k - x = 0$
Раскроем скобки и выразим зависимость между $S$ и $x$:
$S \cdot k^3 - x \cdot k^2 - x \cdot k - x = 0$
$S \cdot k^3 = x(k^2 + k + 1)$
Подставим значение $k = 1{,}1 = \frac{11}{10}$:
$S \cdot \left(\frac{11}{10}\right)^3 = x \left(\left(\frac{11}{10}\right)^2 + \frac{11}{10} + 1\right)$
$S \cdot \frac{1331}{1000} = x \left(\frac{121}{100} + \frac{110}{100} + \frac{100}{100}\right)$
$S \cdot \frac{1331}{1000} = x \cdot \frac{331}{100}$
Отсюда ежегодный платеж равен:
$x = \frac{1331 \cdot S}{1000} \cdot \frac{100}{331} = \frac{1331}{3310} S$

Согласно условию, суммарные выплаты за 3 года равны $3x = S + 34150$.
Подставим найденное выражение для $x$:
$3 \cdot \frac{1331}{3310} S = S + 34150$
$\frac{3993}{3310} S - S = 34150$
$\frac{3993S - 3310S}{3310} = 34150$
$\frac{683}{3310} S = 34150$
$683 S = 34150 \cdot 3310$
$683 S = 113036500$
$S = 165500$

Ответ: 165500

Источник: ФИПИ