Разбор задачи:
1) По условию дуга $AB$, на которую опирается вписанный угол $BDA$, составляет $138^{\circ}$ (рассматриваем дугу, не включающую точки $D$ и $E$). Согласно теореме о вписанном угле, его величина равна половине дуги, на которую он опирается: $$\angle BDA = \frac{138^{\circ}}{2} = 69^{\circ}.$$
2) Углы $BDA$ и $ADC$ являются смежными, так как лежат на одной прямой. Следовательно, их сумма составляет $180^{\circ}$. Отсюда находим величину угла $ADC$: $$\angle ADC = 180^{\circ} - \angle BDA = 180^{\circ} - 69^{\circ} = 111^{\circ}.$$
3) Рассмотрим треугольник $ADC$. Сумма всех внутренних углов треугольника всегда равна $180^{\circ}$. Зная, что $\angle DCA = 54^{\circ}$ и $\angle ADC = 111^{\circ}$, вычислим искомый угол $DAE$: $$\angle DAE = 180^{\circ} - (\angle ADC + \angle DCA) = 180^{\circ} - (111^{\circ} + 54^{\circ}) = 15^{\circ}.$$

Ответ: 15

Источник: ФИПИ