тема 7 из 20

Отбор корней на отрезке

В пункте б) задания 14 из серий пункта а) выбирают корни, которые лежат на заданном отрезке. Корни отбирают на числовой окружности, двойным неравенством для $n$ или перебором $n$ . Отбор надо показать в решении: на окружности подписывают концы отрезка, выделяют дугу и подписывают корни на ней.

Главная тема в задании14На карте навыков

Отбор корней на отрезке
—В аналитике

Корни серий на отрезке

Найдите все числа каждой серии пункта а), которые лежат на отрезке $[a; b]$ .

Разбейте ответ а) на серии без знака $\pm$ : $\pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n$ — это две серии.
Уберите точки, которые исключает ОДЗ (исключение точек).
Отберите корни каждой серии: на окружности, двойным неравенством или перебором $n$ .
Проверьте концы: конец в квадратной скобке входит в отрезок и может быть корнем.
Покажите отбор в решении и запишите в ответ б) числа, а не серии.

Отбор на окружности

Отрезок $[a; b]$ длиной не больше $2\pi$ на окружности — дуга. Она идёт от точки $a$ против часовой стрелки до точки $b$ . Отметьте и подпишите оба конца, выделите дугу. Затем отметьте точки серий, которые лежат на дуге.

Имя точки на дуге — конец отрезка плюс угол от него до точки. Удобно взять ближайший конец или ближайшее число, кратное $2\pi$ : точка $\frac{2\pi}{3}$ на дуге от $2\pi$ — это $2\pi + \frac{2\pi}{3} = \frac{8\pi}{3}$ . Ошибка в имени точки делает пункт б) неверным.

Пример

Отберите корни серий $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ , на отрезке $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$ .

Дуга от

2\pi

до

\frac{7\pi}{2}

и два корня на ней.

1.Точка $2\pi$ — это $(1; 0)$ . Точка $\frac{7\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2}$ — нижняя $(0; -1)$ . Дуга проходит три четверти окружности: I, II и III.
2.Точка $\frac{2\pi}{3}$ лежит во II четверти, на дуге. Её имя: $2\pi + \frac{2\pi}{3} = \frac{8\pi}{3}$ .
3.Точка $-\frac{2\pi}{3}$ лежит в III четверти, на дуге. От $2\pi$ до неё $2\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ , имя: $2\pi + \frac{4\pi}{3} = \frac{10\pi}{3}$ .

Ответ: $\frac{8\pi}{3};\ \frac{10\pi}{3}$

Конец отрезка тоже может быть корнем

Квадратная скобка значит, что конец входит в отрезок. Концы в задании 14 обычно кратны $\frac{\pi}{2}$ , а это корни уравнений $\sin x = 0$ , $\cos x = 0$ , $\sin x = \pm 1$ , $\cos x = \pm 1$ . Поэтому проверьте каждый конец: если он есть в серии, он идёт в ответ. Круглая скобка значит, что конец не входит в промежуток, даже если он корень.

Пример

Отберите корни серии $x = \frac{\pi n}{2},\ n \in \mathbb{Z}$ , на промежутке $\left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right)$ .

1.Числа серии идут через $\frac{\pi}{2}$ : $-3\pi$ , $-\frac{5\pi}{2}$ , $-2\pi$ , $-\frac{3\pi}{2}$ , $-\pi$ , $-\frac{\pi}{2}$ .
2.Левый конец $-\frac{5\pi}{2}$ стоит в квадратной скобке и сам есть в серии: он корень.
3.Правый конец $-\pi$ стоит в круглой скобке: его не берут.

Ответ: $-\frac{5\pi}{2};\ -2\pi;\ -\frac{3\pi}{2}$

Двойное неравенство для n

Для серии $x = x_0 + dn$ запишите $a \le x_0 + dn \le b$ . Вычтите $x_0$ и разделите на шаг $d$ : $\frac{a - x_0}{d} \le n \le \frac{b - x_0}{d}$ . Возьмите все целые $n$ между этими числами и подставьте каждое в серию. Число $\pi$ сначала сократите: разделите всё неравенство на $\pi$ , и останутся обычные дроби.

Способ не зависит от рисунка, поэтому он надёжен при шаге $\frac{\pi}{2}$ и меньше, когда точки на окружности стоят тесно.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

а)  Решите уравнение $\cos 2 x + 0{,}5 = \cos ^{2} x .$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[- 2 \pi ; - \frac{\pi}{2}\right] .$

Решение

а) Формула понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ . Уравнение: $\cos 2x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{\cos 2x}{2}$ .
$\frac{\cos 2x}{2} = 0$ , то есть $\cos 2x = 0$ . Аргумент $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ , откуда $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2},\ n \in \mathbb{Z}$ .
б) $-2\pi \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \le -\frac{\pi}{2}$ . Умножьте на $\frac{4}{\pi}$ : $-8 \le 1 + 2n \le -2$ .
$-9 \le 2n \le -3$ , $-4{,}5 \le n \le -1{,}5$ . Целые $n$ : $-4$ , $-3$ , $-2$ .
$n = -4$ : $x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4}$ . $n = -3$ : $x = \frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{2} = -\frac{5\pi}{4}$ . $n = -2$ : $x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$ .
Ответ: а) $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2},\ n \in \mathbb{Z}$ ; б) $-\frac{7\pi}{4};\ -\frac{5\pi}{4};\ -\frac{3\pi}{4}$ .

Перебор n

Подставляйте в серию $n = 0, 1, 2, \ldots$ и $n = -1, -2, \ldots$ по очереди. Остановитесь, когда число вышло за конец отрезка: дальше числа серии только удаляются от отрезка. Запишите в решение и первое $n$ за каждым концом: оно показывает, что других корней нет. Дроби с $\pi$ сравнивайте после приведения к общему знаменателю.

Пример

Отберите корни серии $x = \frac{\pi}{3} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ , на отрезке $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$ .

1. $n = 0$ : $x = \frac{\pi}{3} \lt \pi$ , не подходит. При $n \lt 0$ числа ещё меньше.
2. $n = 1$ : $x = \frac{4\pi}{3}$ , подходит.
3. $n = 2$ : $x = \frac{7\pi}{3} = \frac{14\pi}{6}$ , а $\frac{5\pi}{2} = \frac{15\pi}{6}$ . Подходит.
4. $n = 3$ : $x = \frac{10\pi}{3} = \frac{20\pi}{6} \gt \frac{15\pi}{6}$ , не подходит. При $n \gt 3$ числа ещё больше.

Ответ: $\frac{4\pi}{3};\ \frac{7\pi}{3}$

Корни и концы отрезка — числа

Если корни и концы отрезка — числа с логарифмом или корнем, запишите каждый корень в том же виде, что и концы. Число $k$ равно $\log_a a^k$ . При $a > 1$ логарифм растёт вместе с аргументом, поэтому логарифмы с одним основанием сравнивают по аргументам. При $0 < a < 1$ знак сравнения меняется.

Корни сравнивают по квадратам: если $u \ge 0$ и $v \ge 0$ , то $u < v$ тогда и только тогда, когда $u^2 < v^2$ . Например, $\sqrt{10} > 3$ , потому что $10 > 9$ .

Пример

Корни уравнения — $x = 3$ и $x = \log_2 5$ . Какие из них принадлежат отрезку $[\log_2 0{,}1; \log_2 6]$ ?

1.Запишем 3 как логарифм по основанию 2: $3 = \log_2 8$ .
2.Основание $2 > 1$ , поэтому сравним аргументы: $8 > 6$ . Значит, $3 > \log_2 6$ , и корень 3 лежит правее отрезка.
3. $0{,}1 < 5 < 6$ , поэтому $\log_2 0{,}1 < \log_2 5 < \log_2 6$ . Корень $\log_2 5$ лежит на отрезке.

Ответ: $\log_2 5$

Какой способ выбрать

Окружность удобна, когда отрезок не длиннее $2\pi$ , а у серий шаг $2\pi$ или $\pi$ : все корни видны на одной дуге. Двойное неравенство удобно при мелком шаге и длинном отрезке. Перебор быстр, когда у серии мало чисел на отрезке. Все три способа эксперт принимает одинаково.

Корни на дуге и на прямой

\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2},\ x \in \left[-4\pi;\ -\frac{5\pi}{2}\right]

Начало отрезка

-4\pi

Длина отрезка

\frac{3\pi}{2}

-4\pi \le \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le -\frac{5\pi}{2}:\ n = -2

-4\pi \le -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \le -\frac{5\pi}{2}:\ \text{целых } n \text{ нет}

x = -\frac{15\pi}{4}

Серые точки — точки серий, оранжевые — корни на отрезке. Строки под рисунком — двойные неравенства для

n

. Выберите уравнение и двигайте начало и длину отрезка.

Что писать в пункте б)

Задание 14 оценивают в 2 балла. 2 балла ставят, если обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. 1 балл ставят, если обоснованно получен верный ответ в пункте а) или если ответы неверны из-за вычислительной ошибки, но все шаги обоих пунктов верны. Верный ответ без решения даёт 0 баллов.

Отдельного балла за пункт б) нет: при неверном пункте а) за задание ставят 0, если ошибка не вычислительная. Способ отбора выбирают сами, но отбор надо показать. На окружности подпишите оба конца отрезка, выделите дугу и подпишите каждый корень на ней: без этого эксперт отбор не засчитывает. При двойном неравенстве запишите неравенство, целые $n$ и корень для каждого $n$ .

Пример

а) Решите уравнение $\cos 2x + \sqrt{2}\cos(x + \pi) + 1 = 0$ . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$ .

Концы отрезка подписаны, дуга выделена, корни на дуге отмечены и подписаны.

1.а) $\cos(x + \pi) = -\cos x$ (формула приведения), $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ (двойной угол). Уравнение: $2\cos^2 x - \sqrt{2}\cos x = 0$ .
2. $\cos x \cdot (2\cos x - \sqrt{2}) = 0$ (общий множитель).
3. $\cos x = 0$ : $x = \frac{\pi}{2} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}$ . $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ : $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ или $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi m$ , $n, m \in \mathbb{Z}$ (простейшие уравнения).
4.б) Конец $-4\pi$ — точка $(1; 0)$ . Конец $-\frac{5\pi}{2} = -4\pi + \frac{3\pi}{2}$ — нижняя точка $(0; -1)$ . Дуга идёт от $-4\pi$ против часовой стрелки до $-\frac{5\pi}{2}$ .
5.На дуге лежат точки $\frac{\pi}{4}$ , $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$ . Их имена: $-4\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{15\pi}{4}$ , $-4\pi + \frac{\pi}{2} = -\frac{7\pi}{2}$ и конец $-\frac{5\pi}{2}$ .
6.Точка $-\frac{\pi}{4}$ на дугу не попадает: число $-4\pi - \frac{\pi}{4}$ меньше $-4\pi$ , а $-2\pi - \frac{\pi}{4} = -\frac{9\pi}{4}$ больше $-\frac{5\pi}{2}$ .

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}$ ; $\pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ ; б) $-\frac{15\pi}{4};\ -\frac{7\pi}{2};\ -\frac{5\pi}{2}$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать