Область допустимых значений

Некоторые преобразования расширяют ОДЗ. Сумма $\log_a f + \log_a g$ требует $f > 0$ и $g > 0$, а $\log_a(fg)$ существует и при $f < 0$, $g < 0$. Умножение на знаменатель убирает условие «знаменатель не ноль». Переход от $\log_a f = \log_a g$ к $f = g$ убирает условие $f > 0$. Корень нового уравнения может нарушить условие исходного: такой корень посторонний.

Если корни — числа, проще подставить их в условия, чем решать систему неравенств ОДЗ.

Каждый аргумент логарифма исходного уравнения должен быть положителен. После того как логарифмы объединили или сняли, подставьте каждый корень во все аргументы. Достаточно одного отрицательного аргумента, и корень посторонний. Основы — в теме Логарифмические уравнения.

Если логарифм равен числу, проверка не нужна: из $\log_2(x^2 + 2x) = 3$ следует $x^2 + 2x = 8 > 0$. Решать неравенство $x^2 + 2x > 0$ здесь лишнее.

Не нужна проверка и тогда, когда выражение положительно при любом $x$: $|x - 1| + 2$, $4x^4 + 56$, $\cos x + \sin 2x + 25$. Синус и косинус не больше 1 по модулю, поэтому последняя сумма не меньше 23. Это условие ОДЗ запишите одной фразой.

Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Если дроби приводят к общему знаменателю и умножают на него, корень нового уравнения может обратить знаменатель в ноль. Выпишите запрещённые значения до решения и уберите их из ответа. Основы — в теме Дробно-рациональные уравнения.

Под корнем чётной степени стоит неотрицательное выражение: $\sqrt{f}$ существует при $f \ge 0$, и $\sqrt{0} = 0$. Если корень стоит в знаменателе, ноль запрещён: $f > 0$. Произведение с корнем равно нулю, когда один множитель равен нулю, а другой существует. Уравнение с корнем в знаменателе разобрано в теме Тригонометрия с логарифмом и степенью.

В тригонометрическом уравнении условие ОДЗ проверяют на окружности. Отметьте точки всех серий. Условие $\cos x \ne a$ или $\sin x \ne a$ запрещает точки, где функция равна $a$: уберите их. Оставшиеся точки запишите новыми сериями: одна точка — с периодом $2\pi$, две противоположные — с периодом $\pi$.

Если из серии $x = \frac{\pi n}{2}$ выпала одна точка, оставшиеся три точки уже не идут через $\frac{\pi}{2}$. Разбейте их на серии заново и проверьте, что каждая точка попала ровно в одну серию.

Условие $\sin x > 0$ оставляет верхнюю половину окружности без точек $0$ и $\pi$. Условие $\sin x < 0$ — нижнюю половину, $\cos x > 0$ — правую, $\cos x < 0$ — левую. Точки на границе половины не подходят: неравенство строгое. Из серии $\pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n$ при $\sin x > 0$ остаётся только $\frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

Если логарифмы с одним основанием равны, их аргументы равны. Тогда достаточно проверить, что положителен один из них.

Ответ неравенства — промежутки, а не отдельные числа, и подстановкой его не проверить. Поэтому условия ОДЗ записывают системой до любых преобразований и решают её. Каждое условие — своё неравенство: аргумент логарифма больше нуля, выражение под корнем не меньше нуля, знаменатель не равен нулю.

На ОДЗ известны знаки многих множителей. При $x < 1$ множитель $1 - x$ положителен, и на него можно разделить неравенство без смены знака.

Отметьте на одной прямой ОДЗ и решение неравенства. В ответ входят только точки, которые лежат в обоих множествах. Концы ОДЗ обычно выколоты: условия $f > 0$ и $g \ne 0$ строгие.

Метод интервалов можно сразу вести только на ОДЗ. Тогда прямая начинается с границы ОДЗ, а знаки ставят только на допустимых интервалах.

Нули знаменателя не входят в ответ. Если знаменатель — квадрат $g(x)^2$, он положителен везде, кроме нулей $g(x)$. На него делят без смены знака, а нули $g(x)$ исключают из ответа. Так $(10x - 11)^2 > 0$ везде, кроме $x = 1{,}1$. Трёхчлен с $D = 0$ — это полный квадрат.