Простейшие тригонометрические уравнения

Число $x$ задаёт поворот точки по единичной окружности: косинус — абсцисса точки, синус — её ордината. Поворот на $2\pi$ возвращает точку на место. Поэтому вместе с корнем $x_0$ корнями будут все числа $x_0 + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Такой набор корней называют серией.

Уравнение $\sin x = a$ ищет точки с ординатой $a$: это точки, где окружность пересекает прямая $y = a$. Уравнение $\cos x = a$ ищет точки с абсциссой $a$: прямая $x = a$. Прямая пересекает окружность в двух точках, касается её в одной точке или проходит мимо.

При $-1 \lt a \lt 1$ прямая $y = a$ пересекает окружность в двух точках. Они симметричны относительно оси $y$. Правая точка — $\arcsin a$: угол из отрезка $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $a$. Левая точка — $\pi - \arcsin a$. Отсюда две серии: $x = \arcsin a + 2\pi n$ и $x = \pi - \arcsin a + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Учебник записывает обе серии одной формулой $x = (-1)^n \arcsin a + \pi n$. Для отбора корней удобнее две серии. Арксинус отрицательного числа отрицателен: $\arcsin(-a) = -\arcsin a$. Одна серия $\arcsin a + \pi n$ — ошибка: в неё попадают точки, где синус равен $-a$.

При $-1 \lt a \lt 1$ прямая $x = a$ пересекает окружность в двух точках. Они симметричны относительно оси $x$. Верхняя точка — $\arccos a$: угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$. Нижняя точка — $-\arccos a$. Обе серии записывают вместе: $x = \pm\arccos a + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Арккосинус отрицательного числа больше $\frac{\pi}{2}$: $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$. Ответ $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$ неверен: у точки $-\frac{\pi}{3}$ косинус равен $\frac{1}{2}$.

Тангенс принимает любые значения, поэтому уравнение $\operatorname{tg} x = a$ имеет корни при любом $a$. Прямая через центр окружности пересекает её в двух противоположных точках. Они отличаются на $\pi$, поэтому серия одна: $x = \operatorname{arctg} a + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Здесь $\operatorname{arctg} a$ — угол из интервала $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, тангенс которого равен $a$, и $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg} a$.

Тангенс получается в задании 14 из уравнения $\sin x = k\cos x$ после деления на $\cos x$ (однородные уравнения).

При $a = 1$ и $a = -1$ прямая уровня касается окружности: точка одна, серия одна, шаг $2\pi$. При $a = 0$ две точки противоположны, и их записывают одной серией с шагом $\pi$. Общие формулы дают те же корни, но длиннее: $\pm\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ для $\cos x = 0$ — это $\frac{\pi}{2} + \pi n$.

У $\sin x = 1$ шаг серии $2\pi$, а не $\pi$: серия $\frac{\pi}{2} + \pi n$ содержит и корни уравнения $\sin x = -1$.

Синус и косинус любого числа лежат на отрезке $[-1; 1]$. Поэтому при $|a| \gt 1$ уравнения $\sin x = a$ и $\cos x = a$ корней не имеют: прямая уровня проходит мимо окружности. В задании 14 так отпадает один из множителей или один корень квадратного уравнения.

Если под функцией стоит $kx + b$, решите простейшее уравнение для всего аргумента $kx + b$. Потом выразите $x$: перенесите $b$ и разделите на $k$ всю серию, и начало, и шаг. Из $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ следует $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$: шаг тоже делится на 2.

Сдвиг аргумента шаг не меняет: из $x - \frac{\pi}{3} = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ следует $x = \frac{\pi}{3} \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, то есть $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ или $x = 2\pi n$.

В ответ а) идут все серии, и у каждой стоит $n \in \mathbb{Z}$. Буквы можно брать разные: $n$, $k$, $m$. Форма записи свободная: две серии, знак $\pm$ или $(-1)^n$. Эксперт проверяет только математику, и повтор одних и тех же корней в двух сериях ошибкой не считают.

Серии можно объединить, если их точки идут по окружности через равные дуги. Для отбора в пункте б) удобнее серии с шагом $2\pi$ или $\pi$.