тема 11 из 20

Сведение тригонометрического уравнения к квадратному

Если после тождеств в уравнении осталась одна функция, $\sin x$ или $\cos x$ , в первой и во второй степени, это квадратное уравнение относительно неё. Обозначьте функцию буквой $t$ , решите квадратное уравнение и вернитесь к $x$ . Синус и косинус лежат от −1 до 1, поэтому корень $t$ вне этого отрезка отбрасывают.

Реже в задании14На карте навыков

Сведение к квадратному уравнению
—В аналитике

Квадратное уравнение относительно синуса или косинуса

Уравнение $a\sin^2 x + b\sin x + c = 0$ — квадратное относительно $\sin x$ . Так же с $\cos x$ и $\operatorname{tg} x$ ; у тангенса $t$ — любое число.

Оставьте одну функцию: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ или $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ (тождества).
Обозначьте $t = \sin x$ или $t = \cos x$ , $-1 \le t \le 1$ (замена).
Решите квадратное уравнение.
Корень вне отрезка $[-1; 1]$ отбросьте.
Каждый оставшийся корень даёт простейшее уравнение $\sin x = t$ (обратная замена).

Квадрат другой функции — через тождество

Если в уравнении $\cos^2 x$ и $\sin x$ , замените $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ (квадрат через другую функцию). Получится квадратное уравнение относительно $\sin x$ . Буквой $t$ обозначают функцию, которая стоит в первой степени.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

а) Решите уравнение $2 \cos ^{2} x + 3 \sin \left(- x\right) - 3 = 0$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2 \pi ; \frac{7 \pi}{2}\right] .$

Решение

а) $\sin(-x) = -\sin x$ , $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ : $2 - 2\sin^2 x - 3\sin x - 3 = 0$ , $2\sin^2 x + 3\sin x + 1 = 0$ .
$t = \sin x$ : $2t^2 + 3t + 1 = 0$ , $D = 9 - 8 = 1$ , $t = -1$ или $t = -\frac{1}{2}$ . Оба корня лежат на $[-1; 1]$ .
$\sin x = -1$ : $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ . $\sin x = -\frac{1}{2}$ : $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ , $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$ .
б) На $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$ при $n = 2$ : $-\frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{7\pi}{2}$ — конец отрезка, $-\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6}$ . Точка $-\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6}$ больше $\frac{7\pi}{2} = \frac{21\pi}{6}$ .
При $n = 1$ все три точки меньше $2\pi$ (отбор корней).
Ответ: а) $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n;\ -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ ; б) $\frac{19\pi}{6};\ \frac{7\pi}{2}$ .

Косинус двойного угла рядом с синусом или косинусом

Если в уравнении $\cos 2x$ и $\sin x$ , запишите $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ . Если $\cos 2x$ и $\cos x$ , запишите $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ (формы косинуса). Получится квадратное уравнение относительно функции из первой степени.

Пример

а) Решите уравнение $\cos 2x = \cos x$ . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$ .

1.а) $2\cos^2 x - 1 = \cos x$ , $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$ .
2. $t = \cos x$ : $2t^2 - t - 1 = 0$ , $D = 1 + 8 = 9$ , $t = 1$ или $t = -\frac{1}{2}$ .
3. $\cos x = 1$ : $x = 2\pi n$ . $\cos x = -\frac{1}{2}$ : $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ .
4.б) На окружности отрезок $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$ — дуга от правой точки $-2\pi$ против часовой стрелки до нижней точки $-\frac{\pi}{2}$ . Она проходит I, II и III четверти.
5.На дуге лежат $-2\pi$ , точка $\frac{2\pi}{3}$ II четверти с именем $\frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3}$ и точка $-\frac{2\pi}{3}$ III четверти. Конец $-\frac{\pi}{2}$ корнем не является.

Ответ: а) $2\pi n;\ \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ ; б) $-2\pi;\ -\frac{4\pi}{3};\ -\frac{2\pi}{3}$

Корень вне отрезка от −1 до 1

Если корень $t$ больше 1 или меньше −1, уравнение $\sin x = t$ корней не имеет. Напишите это в решении. Корень с радикалом сравните с 1 через квадраты: $2\sqrt{2} = \sqrt{8} > 1$ .

Если дискриминант не полный квадрат, вынесите из-под корня наибольший квадрат: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ . Тогда корни получатся точными, как $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , и их можно сравнить с табличными значениями.

Пример

а) Решите уравнение $3\sqrt{2}\cos x = 2\sin^2 x + 2$ . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$ .

1.а) $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ : $3\sqrt{2}\cos x = 4 - 2\cos^2 x$ , $2\cos^2 x + 3\sqrt{2}\cos x - 4 = 0$ .
2. $t = \cos x$ : $D = 18 + 32 = 50$ , $\sqrt{D} = 5\sqrt{2}$ , $t = \frac{-3\sqrt{2} \pm 5\sqrt{2}}{4}$ : $t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ или $t = -2\sqrt{2}$ .
3. $-2\sqrt{2} < -1$ : уравнение $\cos x = -2\sqrt{2}$ корней не имеет.
4. $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ : $x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n$ .
5.б) На $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$ при $n = -1$ : $-\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{9\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4}$ . При $n = 0$ числа больше $-\frac{3\pi}{2}$ , при $n = -2$ меньше $-3\pi$ (перебор).

Ответ: а) $\pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ ; б) $-\frac{9\pi}{4};\ -\frac{7\pi}{4}$

Квадрат функции равен числу

Если первой степени нет, получается $\cos^2 x = a$ или $\sin^2 x = a$ . Тогда $\cos x = \pm\sqrt{a}$ : два простейших уравнения. Их четыре точки на окружности симметричны относительно центра, поэтому серии объединяют: $\cos x = \pm\frac{1}{2}$ даёт $x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi n$ .

Пример

а) Решите уравнение $\cos 2x + \sin^2 x = \frac{1}{4}$ . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\pi; \frac{\pi}{2}\right]$ .

1.а) $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ : $\cos^2 x - \sin^2 x + \sin^2 x = \frac{1}{4}$ , $\cos^2 x = \frac{1}{4}$ .
2. $\cos x = \frac{1}{2}$ или $\cos x = -\frac{1}{2}$ : точки $\pm\frac{\pi}{3}$ и $\pm\frac{2\pi}{3}$ . Они повторяются через $\pi$ : $x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi n$ .
3.б) На $\left[-\pi; \frac{\pi}{2}\right]$ : $\frac{\pi}{3}$ , $-\frac{\pi}{3}$ , $\frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$ . Точки $\frac{\pi}{3} + \pi$ и $-\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}$ больше $\frac{\pi}{2}$ , точки $\frac{\pi}{3} - 2\pi$ и $-\frac{\pi}{3} - \pi$ меньше $-\pi$ .

Ответ: а) $\pm\frac{\pi}{3} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ ; б) $-\frac{2\pi}{3};\ -\frac{\pi}{3};\ \frac{\pi}{3}$

Квадратное уравнение получается и в комбинированных заданиях: $16^{\sin x} - 6 \cdot 4^{\sin x} + 8 = 0$ после замены $t = 4^{\sin x}$ , $2\log_2^2(2\sin x) - 7\log_2(2\sin x) + 3 = 0$ после замены $t = \log_2(2\sin x)$ . Такие уравнения разобраны в темах квадратное уравнение относительно степени и логарифмическая замена.

Корни по t и точки на окружности

t = \sin x:\quad 2t^2 + 3t + 1 = 0

t_1 = -1

\sin x = -1

x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n

t_2 = -\frac{1}{2}

\sin x = -\frac{1}{2}

x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n,\ x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n

Слева — квадратный трёхчлен по

t

и полоса

-1 \le t \le 1

. Справа — точки окружности, где синус или косинус равен корню. Выберите уравнение: корень вне полосы не даёт точек.

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать