тема 12 из 20

Тригонометрия вместе с логарифмом и степенью

В таком уравнении синус или косинус стоит внутри логарифма, в показателе степени, под корнем или в дроби. Сначала снимают внешнюю функцию: логарифм — по определению, степень — приравниванием показателей или заменой. Получается обычное тригонометрическое уравнение. Потом из его серий убирают точки, где логарифм, корень или дробь не существуют.

Реже в задании14На карте навыков

Комбинированные триг. уравнения
—В аналитике

Как решить комбинированное уравнение

Снимите внешнюю функцию, решите тригонометрическое уравнение и проверьте серии по ОДЗ.

$\log_a f = c$ : $f = a^c$ . ОДЗ выполнена сама.
$\log_a f = \log_a g$ : $f = g$ и $f > 0$ .
$a^f = a^g$ : $f = g$ .
Степень или логарифм в квадрате: замена $t = a^{\sin x}$ или $t = \log_a(\sin x)$ .
Дробь равна нулю: числитель равен нулю, знаменатель не равен нулю.
Корень в знаменателе: подкоренное выражение строго больше нуля.
Отметьте серии на окружности и уберите точки, где условие нарушено. Потом отберите корни для пункта б).

Логарифм равен числу

По определению логарифма $\log_a f(x) = c$ значит $f(x) = a^c$ . Аргумент равен $a^c > 0$ , поэтому ОДЗ проверять не нужно. Остаётся тригонометрическое уравнение: из $\log_6(2\sin^2 x - 3\sin x - 1) = 0$ получается $2\sin^2 x - 3\sin x - 1 = 1$ .

Если логарифм стоит в квадрате, сначала сделайте замену $t = \log_2(2\sin x)$ . Значение вроде $\sin x = 4$ корней не даёт.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

а) Решите уравнение $\log _{5} \left(\cos x + \sin 2 x + 25\right) = 2 .$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[2 \pi ; \frac{7 \pi}{2}\right] .$

Решение

По определению логарифма $\cos x + \sin 2x + 25 = 5^2 = 25$ . Аргумент равен $25 > 0$ , ОДЗ проверять не нужно.
$\cos x + \sin 2x = 0$ . Двойной угол и общий множитель: $\cos x\,(1 + 2\sin x) = 0$ .
$\cos x = 0$ : $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ . $\sin x = -\frac{1}{2}$ : $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ , $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ .
б) На окружности отрезок $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$ — дуга от $2\pi$ до $\frac{7\pi}{2}$ . На ней лежат $\frac{5\pi}{2}$ , $2\pi + \frac{7\pi}{6} = \frac{19\pi}{6}$ и конец дуги $\frac{7\pi}{2}$ . Точка $4\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{23\pi}{6}$ больше $\frac{7\pi}{2} = \frac{21\pi}{6}$ .
Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi n,\ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n,\ \frac{7\pi}{6} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ ; б) $\frac{5\pi}{2};\ \frac{19\pi}{6};\ \frac{7\pi}{2}$ .

Логарифм равен логарифму

Если основания равны, приравняйте аргументы: $\log_a f = \log_a g$ значит $f = g$ и $f > 0$ . Условие $f > 0$ убирает часть точек серий. Как отметить его на окружности, показано на задаче $\log_2(\sin 2x) = \log_2(\sqrt{2}\cos x)$ в теме ОДЗ.

Логарифм равен x

В уравнении $\log_a\left(a^{2x} + \ldots\right) = x$ по определению аргумент равен $a^x$ . Степень с $x$ в аргументе тоже равна $a^x$ : $3^{2x} = 9^x$ , $2^{2x} = 4^x$ . Она сокращается, и остаётся тригонометрическое уравнение. ОДЗ выполнена: аргумент равен $a^x > 0$ .

Пример

а) Решите уравнение $\log_9(3^{2x} + 5\sqrt{2}\sin x - 6\cos^2 x - 2) = x$ . б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$ .

1.По определению $3^{2x} + 5\sqrt{2}\sin x - 6\cos^2 x - 2 = 9^x$ . Аргумент равен $9^x > 0$ , ОДЗ выполнена.
2. $3^{2x} = 9^x$ , эти слагаемые сокращаются: $5\sqrt{2}\sin x - 6\cos^2 x - 2 = 0$ .
3.Основное тождество: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ , поэтому $6\sin^2 x + 5\sqrt{2}\sin x - 8 = 0$ .
4. $t = \sin x$ : $D = 50 + 192 = 242 = (11\sqrt{2})^2$ , $t = \frac{-5\sqrt{2} \pm 11\sqrt{2}}{12}$ , то есть $t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ или $t = -\frac{4\sqrt{2}}{3}$ .
5. $\frac{4\sqrt{2}}{3} > 1$ , так как $\frac{32}{9} > 1$ : корней нет. $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ : $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ , $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ .
6.б) На дуге от $-2\pi$ до $-\frac{\pi}{2}$ лежат $\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4}$ .

Ответ: а) $\frac{\pi}{4} + 2\pi n,\ \frac{3\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ ; б) $-\frac{7\pi}{4};\ -\frac{5\pi}{4}$

Синус в показателе степени

Запишите обе части как степени одного основания и приравняйте показатели, как в показательных уравнениях: из $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ следует $f(x) = g(x)$ . Дробь в основании даёт минус в показателе: $\left(\frac{1}{49}\right)^{u} = 7^{-2u}$ . Синус и косинус в показателе упростите по формулам приведения.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

а) Решите уравнение $\left(\frac{1}{49}\right)^{\sin \left(x + \pi\right)} = 7^{2 \sqrt{3} \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right)} .$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3 \pi ; \frac{9 \pi}{2}\right] .$

Решение

$\frac{1}{49} = 7^{-2}$ и $\sin(x + \pi) = -\sin x$ : левая часть равна $7^{-2 \cdot (-\sin x)} = 7^{2\sin x}$ .
$\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$ : правая часть равна $7^{2\sqrt{3}\cos x}$ .
Показатели равны: $2\sin x = 2\sqrt{3}\cos x$ , то есть $\sin x = \sqrt{3}\cos x$ .
Если $\cos x = 0$ , то $\sin x = \pm 1$ , и равенство неверно. Разделите на $\cos x$ : $\operatorname{tg} x = \sqrt{3}$ , $x = \frac{\pi}{3} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ .
б) $3\pi \le \frac{\pi}{3} + \pi n \le \frac{9\pi}{2}$ даёт $\frac{8}{3} \le n \le \frac{25}{6}$ , $n = 3$ или $n = 4$ : $x = \frac{10\pi}{3}$ , $x = \frac{13\pi}{3}$ .
Ответ: а) $\frac{\pi}{3} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ ; б) $\frac{10\pi}{3};\ \frac{13\pi}{3}$ .

Квадратное уравнение относительно степени

Если в уравнении есть $81^{\cos x} = \left(9^{\cos x}\right)^2$ и $9^{\cos x}$ , сделайте замену $t = 9^{\cos x}$ . Так как $-1 \le \cos x \le 1$ , то $\frac{1}{9} \le t \le 9$ . Корень вне этих границ отбросьте.

Показатель $\cos 2x$ сводят к $\sin^2 x$ по формуле двойного угла: $4^{\cos 2x} = \frac{4}{16^{\sin^2 x}}$ , а $t = 16^{\sin^2 x}$ лежит от 1 до 16. Сумму $16^{\cos x} + 16^{-\cos x}$ решают как взаимно обратные выражения.

Пример

а) Решите уравнение $9 \cdot 81^{\cos x} - 28 \cdot 9^{\cos x} + 3 = 0$ . б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$ .

1.Пусть $t = 9^{\cos x}$ , $\frac{1}{9} \le t \le 9$ : $9t^2 - 28t + 3 = 0$ .
2. $D = 784 - 108 = 676 = 26^2$ , $t = \frac{28 \pm 26}{18}$ : $t = 3$ или $t = \frac{1}{9}$ . Оба корня в границах.
3. $9^{\cos x} = 3 = 9^{\frac{1}{2}}$ : $\cos x = \frac{1}{2}$ , $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ .
4. $9^{\cos x} = \frac{1}{9} = 9^{-1}$ : $\cos x = -1$ , $x = \pi + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ .
5.б) На дуге от $\frac{5\pi}{2}$ до $4\pi$ лежат $3\pi$ и $4\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{3}$ . Точка $2\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{3}$ меньше $\frac{5\pi}{2}$ .

Ответ: а) $\pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n,\ \pi + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ ; б) $3\pi;\ \frac{11\pi}{3}$

Дробь равна нулю

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Выпишите ОДЗ: знаменатель не ноль и условия числителя, например аргумент логарифма больше нуля. Решите уравнение «числитель равен нулю». Потом уберите точки, где знаменатель равен нулю.

Пример

а) Решите уравнение $\frac{\log_2^2(\sin x) + \log_2(\sin x)}{2\cos x - \sqrt{3}} = 0$ . б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$ .

1.ОДЗ: $\sin x > 0$ — аргумент логарифма, $\cos x \ne \frac{\sqrt{3}}{2}$ — знаменатель.
2.Числитель равен нулю: $\log_2(\sin x)\left(\log_2(\sin x) + 1\right) = 0$ .
3. $\log_2(\sin x) = 0$ : $\sin x = 1$ , $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ . Здесь $\cos x = 0$ : точки подходят.
4. $\log_2(\sin x) = -1$ : $\sin x = \frac{1}{2}$ , точки $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$ . В точке $\frac{\pi}{6}$ $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ : знаменатель равен нулю, серия выпадает. Остаётся $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ .
5.Условие $\sin x > 0$ выполнено само: $\sin x$ равен 1 или $\frac{1}{2}$ .
6.б) На отрезке $\left[\frac{\pi}{2}; 2\pi\right]$ лежат $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{5\pi}{6}$ .

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + 2\pi n,\ \frac{5\pi}{6} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ ; б) $\frac{\pi}{2};\ \frac{5\pi}{6}$

Корень в знаменателе

Если в знаменателе стоит $\sqrt{k\sin x}$ при $k > 0$ , корень существует и не равен нулю только при $\sin x > 0$ . Числитель приравняйте к нулю и решите как степени с синусом в показателе. Из найденных серий оставьте только точки верхней половины окружности: серия $x = \pi n$ выпадает целиком.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

а) Решите уравнение $\frac{9^{\sin \left(2 x\right)} - 3^{2 \sqrt{2} \sin \left(x\right)}}{\sqrt{11 \sin \left(x\right)}} = 0 .$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{7 \pi}{2} ; 5 \pi\right] .$

Решение

ОДЗ: $11\sin x > 0$ , то есть $\sin x > 0$ . Корень стоит в знаменателе, поэтому неравенство строгое.
Числитель равен нулю: $9^{\sin 2x} = 3^{2\sqrt{2}\sin x}$ . $9^{\sin 2x} = 3^{2\sin 2x}$ , показатели равны: $\sin 2x = \sqrt{2}\sin x$ .
$2\sin x\cos x - \sqrt{2}\sin x = 0$ , общий множитель: $\sin x\left(2\cos x - \sqrt{2}\right) = 0$ .
$\sin x = 0$ нарушает ОДЗ. $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ : точки $\pm\frac{\pi}{4}$ . Условию $\sin x > 0$ отвечает только $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ .
б) $\frac{7\pi}{2} \le \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le 5\pi$ даёт $\frac{13}{8} \le n \le \frac{19}{8}$ , $n = 2$ : $x = \frac{17\pi}{4}$ .
Ответ: а) $\frac{\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ ; б) $\frac{17\pi}{4}$ .

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать