тема 9 из 20

Разложение уравнения на множители

Большинство уравнений задания 14 после тождеств раскладываются на множители. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, поэтому уравнение распадается на простейшие. Ответ — все их серии вместе. Сокращать на множитель с $x$ нельзя: пропадёт серия.

Часто в задании14На карте навыков

Разложение на множители
—В аналитике

Произведение равно нулю

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

Перенесите все слагаемые в левую часть: справа должен быть 0.
Вынесите общий множитель или сгруппируйте слагаемые.
Приравняйте к нулю каждый множитель и решите простейшие уравнения.
Множитель без корней отбросьте и напишите почему: $\cos^2 x + 1 \ge 1$ , $|\sin x| \le 1$ .
В ответ а) запишите все серии (запись ответа).

Общий множитель

Если каждое слагаемое содержит $\sin x$ , $\cos x$ или их квадрат, вынесите этот множитель за скобку: $2\sin x\cos x - \sqrt{2}\sin x = \sin x\,(2\cos x - \sqrt{2})$ . Общий множитель часто видно только после тождеств: $\sin 2x$ даёт $\sin x$ и $\cos x$ , $1 + \cos 2x$ даёт $\cos^2 x$ .

Множитель в квадрате даёт те же корни, что и сам множитель: $\cos^2 x = 0$ при $\cos x = 0$ . Если трёхчлен в скобке — полный квадрат, корень у него один: $4\cos^2 x - 4\sqrt{3}\cos x + 3 = (2\cos x - \sqrt{3})^2$ , откуда $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

а) Решите уравнение $\sin 2 x + \sqrt{2} \sin \left(x + \pi\right) = 0 .$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[- 4 \pi ; - \frac{5 \pi}{2}\right] .$

Решение

а) $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ , $\sin(x + \pi) = -\sin x$ (приведение): $2\sin x\cos x - \sqrt{2}\sin x = 0$ .
Общий множитель $\sin x$ : $\sin x\,(2\cos x - \sqrt{2}) = 0$ .
$\sin x = 0$ : $x = \pi n$ . $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ : $x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$ .
б) Серия $\pi n$ : $-4\pi \le \pi n \le -\frac{5\pi}{2}$ , $-4 \le n \le -2{,}5$ , $n = -4, -3$ : $-4\pi$ , $-3\pi$ .
Серия $\frac{\pi}{4} + 2\pi n$ : $-4\pi \le \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le -\frac{5\pi}{2}$ , $-2{,}125 \le n \le -1{,}375$ , $n = -2$ : $-\frac{15\pi}{4}$ (двойное неравенство).
Серия $-\frac{\pi}{4} + 2\pi n$ : $-1{,}875 \le n \le -1{,}125$ , целых $n$ нет.
Ответ: а) $\pi n;\ \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ ; б) $-4\pi;\ -\frac{15\pi}{4};\ -3\pi$ .

Сокращать на множитель с x нельзя

Если $\sin x$ стоит в обеих частях, не делите на него: при $\sin x = 0$ деление невозможно, и серия $x = \pi n$ пропадёт из ответа. Перенесите всё в одну часть и вынесите множитель за скобку.

Делить можно только на выражение, которое не равно нулю ни при каком $x$ , как $\cos^2 x + 1$ . Или после проверки, что его нули не корни: так решают однородную скобку.

Пример

а) Решите уравнение $\sin 2x = \sin x$ . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$ .

1.а) $2\sin x\cos x = \sin x$ . Если разделить на $\sin x$ , останется $\cos x = \frac{1}{2}$ , а корни $\pi n$ потеряются.
2.Верно: $2\sin x\cos x - \sin x = 0$ , $\sin x\,(2\cos x - 1) = 0$ .
3. $\sin x = 0$ : $x = \pi n$ . $\cos x = \frac{1}{2}$ : $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ .
4.б) На окружности отрезок $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$ — дуга от левой точки $\pi$ против часовой стрелки до верхней точки $\frac{5\pi}{2}$ . На ней лежат $\pi$ , $2\pi$ , $2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$ и $2\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{3}$ .

Ответ: а) $\pi n;\ \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ ; б) $\pi;\ \frac{5\pi}{3};\ 2\pi;\ \frac{7\pi}{3}$

Группировка

Если общего множителя нет, разбейте четыре слагаемых на две пары. В каждой паре вынесите общий множитель так, чтобы в скобках осталось одно и то же: $2\sin x\cos x + \sin x + 2\cos x + 1 = \sin x\,(2\cos x + 1) + (2\cos x + 1) = (2\cos x + 1)(\sin x + 1)$ . Если скобки отличаются знаком, вынесите минус. Выражение $1 - \cos^2 x$ раскладывают по разности квадратов: $2\cos^2 x\,(1 - \cos x) + (1 - \cos x)(1 + \cos x) = (1 - \cos x)(2\cos^2 x + \cos x + 1)$ .

Квадратный трёхчлен, где рядом стоят слагаемые с радикалом и без него, тоже раскладывайте группировкой: $2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin x - 2\sin x - \sqrt{2} = (\sin x - 1)(2\sin x + \sqrt{2})$ . Это короче дискриминанта.

Пример

а) Решите уравнение $1 - \cos 2x + \sqrt{3}\sin x = \sqrt{3} + 2\sin x$ . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$ .

1.а) $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$ : $2\sin^2 x + \sqrt{3}\sin x - 2\sin x - \sqrt{3} = 0$ .
2.Пары: $2\sin x\,(\sin x - 1) + \sqrt{3}\,(\sin x - 1) = 0$ , $(\sin x - 1)(2\sin x + \sqrt{3}) = 0$ .
3. $\sin x = 1$ : $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ . $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ : $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ , $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ .
4.б) На $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$ : $\frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$ и $-\frac{2\pi}{3}$ . Точки $\frac{\pi}{2}$ и $-\frac{\pi}{3}$ больше $-\frac{\pi}{2}$ . Точки $\frac{\pi}{2} - 4\pi$ , $-\frac{\pi}{3} - 2\pi$ и $-\frac{2\pi}{3} - 2\pi$ меньше $-2\pi$ .

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ -\frac{\pi}{3} + 2\pi n;\ -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ ; б) $-\frac{3\pi}{2};\ -\frac{2\pi}{3}$

Множитель без корней

После группировки куба часто остаётся множитель $\cos^2 x + 1$ или $\sin^2 x + 1$ . Он не меньше 1 и в ноль не обращается. Множитель $\sin x - 2$ тоже не даёт корней: $|\sin x| \le 1$ . Квадратный трёхчлен с отрицательным дискриминантом в ноль не обращается: у $2\cos^2 x + \cos x + 1$ дискриминант $D = 1 - 8 = -7$ . Напишите в решении, почему множитель не равен нулю, и не включайте его в ответ.

Пример

а) Решите уравнение $2\sin^3 x + \sin^2 x + 2\sin x + 1 = 0$ . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$ .

1.а) $\sin^2 x\,(2\sin x + 1) + (2\sin x + 1) = 0$ , $(2\sin x + 1)(\sin^2 x + 1) = 0$ .
2. $\sin^2 x + 1 \ge 1$ , этот множитель не равен нулю.
3. $\sin x = -\frac{1}{2}$ : $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ , $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ .
4.б) При $n = 2$ : $-\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6}$ лежит на $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$ . Точка $-\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6}$ больше $\frac{7\pi}{2} = \frac{21\pi}{6}$ , а $-\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$ и $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6}$ меньше $2\pi$ .

Ответ: а) $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n;\ -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ ; б) $\frac{19\pi}{6}$

Если множитель содержит логарифм, корень или дробь, условие «остальные множители имеют смысл» отбрасывает часть точек. Каждую серию проверьте по ОДЗ.

Корни каждого множителя на окружности

\sin x\,(2\cos x - 1) = 0

\sin x = 0

x = \pi n

2\cos x - 1 = 0

\cos x = \frac{1}{2}

x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n

Ответ а):

x = \pi n;\ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}

Каждый множитель даёт свои точки на окружности, ответ — все точки вместе. Выберите уравнение и включайте множители. Нажмите «Разделить на»: точки первого множителя пропадут из ответа.

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать