Задание №16 — Кредиты

Задание №16

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 200000 рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на $r$ % по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Найдите $\text{r},$ если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 130000 рублей, а во второй год - 150000 рублей.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение:
Введем основные параметры задачи:
Начальная сумма кредита $S = 200$ тыс. рублей;
Годовая процентная ставка составляет $r \%$ ;
Коэффициент увеличения долга обозначим как $k = 1 + \frac{r}{100}$ ;
Срок кредитования $n = 2$ года.
Согласно условию, в конце первого года заемщик вносит 130 тыс. рублей, а в конце второго — 150 тыс. рублей, полностью погашая задолженность.

Период	Остаток долга	Сумма с процентами	Платеж	Остаток после платежа
1-й год	$S$	$S \cdot k$	130 000	$Sk - 130000$
2-й год	$Sk - 130000$	$(Sk - 130000) \cdot k$	150 000	$(Sk - 130000)k - 150000$

Так как через два года кредит был закрыт, итоговый остаток равен нулю:
$(200000 \cdot k - 130000) \cdot k - 150000 = 0$ Раскроем скобки и приведем уравнение к квадратному виду:
$200000 k^{2} - 130000 k - 150000 = 0$
Разделим все коэффициенты на 10 000 для упрощения расчетов:
$20 k^{2} - 13 k - 15 = 0$
Найдем дискриминант полученного уравнения:
$D = (-13)^{2} - 4 \cdot 20 \cdot (-15) = 169 + 1200 = 1369 = 37^{2} .$
Вычислим корни уравнения:
$k_{1} = \frac{13 + 37}{2 \cdot 20} = \frac{50}{40} = 1{,}25 ;$
$k_{2} = \frac{13 - 37}{40} = -0{,}6$ . Данное значение не подходит, так как коэффициент $k$ должен быть больше 1.
Таким образом, $k = 1{,}25$ .
Зная, что $k = 1 + \frac{r}{100}$ , находим процентную ставку:
$1 + \frac{r}{100} = 1{,}25 \Rightarrow \frac{r}{100} = 0{,}25 \Rightarrow r = 25 \% .$

Ответ: 25%

Источник: ФИПИ

Задание №16