тема 14 из 19

Исследование функции с экспонентой

Экспонента $e^x$ положительна при любом $x$ . Поэтому в производной её выносят за скобки, и знак производной задаёт другой множитель. Так исследуют функции вида $(ax + b)e^{x}$ , $P(x)e^{kx}$ и законы роста и затухания $at\,e^{-kt}$ .

Часто в задании17На карте навыков

Исследование произведений с экспонентой
—В аналитике

Вынесите экспоненту: знак даёт другой множитель

$(e^x)' = e^x$ , $(e^{kx + b})' = ke^{kx + b}$ , и $e^{kx + b} > 0$ при всех $x$ .

Найдите производную по правилу произведения.
Вынесите экспоненту за скобки: $f'(x) = e^{kx + b} \cdot g(x)$ .
Знак $f'$ — знак $g(x)$ , критические точки — корни уравнения $g(x) = 0$ .
Значение с $e$ запишите точно, например $\frac{80}{e}$ . Приближённое значение дайте, если его просит условие.

Многочлен, умноженный на экспоненту

Для $f(x) = P(x)e^{kx + b}$ производная $f'(x) = P'(x)e^{kx + b} + kP(x)e^{kx + b} = (P'(x) + kP(x))e^{kx + b}$ . Знак $f'$ — знак многочлена $P' + kP$ . Если $P$ линейный, корень один (производная $(x - 8)e^{x - 7}$ ). Если $P$ квадратный, корней может быть два, и по знакам выбирают нужную точку. Если у $P' + kP$ корней нет, знак $f'$ не меняется: функция монотонна, и точек экстремума у неё нет.

Пример

Найдите точку максимума функции $y = (x^2 - 10x + 10)e^{5 - x}$ .

1.Здесь $k = -1$ : $y' = (2x - 10)e^{5 - x} - (x^2 - 10x + 10)e^{5 - x} = -(x^2 - 12x + 20)e^{5 - x}$ .
2. $x^2 - 12x + 20 = (x - 2)(x - 10)$ , поэтому $y' = -(x - 2)(x - 10)e^{5 - x}$ . Множитель $e^{5 - x} > 0$ , и знак $y'$ — знак $-(x - 2)(x - 10)$ .
3. $y' < 0$ при $x < 2$ , $y' > 0$ при $2 < x < 10$ , $y' < 0$ при $x > 10$ (знаки на промежутках).
4.В точке $x = 2$ знак меняется с минуса на плюс: это точка минимума. В точке $x = 10$ — с плюса на минус: это точка максимума.

Ответ: $10$

Экспонента от функции

$(e^{u})' = u' \cdot e^{u}$ по правилу сложной функции, и $e^{u} > 0$ . Поэтому знак производной — знак $u'$ : функция $e^{u(x)}$ наибольшая и наименьшая там же, где $u(x)$ . То же верно для $a^{u(x)}$ при $a > 1$ , а при $0 < a < 1$ наибольшее и наименьшее меняются местами. Так, $e^{-x^2}$ наибольшая при $x = 0$ , и её наибольшее значение $e^0 = 1$ .

Пик концентрации при разных k

C(t) = 12t\,e^{-0{,}4t}

k

0{,}4

C'(t) = 12e^{-0{,}4t}\,(1 - 0{,}4t)

При

t = 1

C'(1) \approx 4{,}83 > 0

, функция возрастает.

t_{\max} = \frac{1}{0{,}4} = 2{,}5,\quad C_{\max} = \frac{12}{0{,}4e} \approx 11{,}04

Кривая — график

C(t) = 12t\,e^{-kt}

, полоса внизу — знак

C'

. Касательная зелёная там, где функция возрастает, и красная там, где убывает. Двигайте точку по графику и меняйте

k

Рост и затухание

Концентрация лекарства или сила тока часто растут, а потом убывают по закону $C(t) = at\,e^{-kt}$ , где $t \ge 0$ , $a > 0$ , $k > 0$ . Производная $C'(t) = ae^{-kt} - akt\,e^{-kt} = ae^{-kt}(1 - kt)$ . Её знак — знак $1 - kt$ : плюс до $t_0 = \frac{1}{k}$ и минус после. Значит, $C(t_0) = \frac{a}{ke}$ — наибольшее значение на всём луче $t \ge 0$ .

Пример

После приёма лекарства его концентрация в крови (в мг/л) меняется по закону $C(t) = 20t\,e^{-0{,}25t}$ , где $t \ge 0$ — время в часах. Через сколько часов концентрация будет наибольшей и чему она будет равна? Ответ обоснуйте.

1.Область: $t \ge 0$ .
2. $C'(t) = 20e^{-0{,}25t} + 20t \cdot (-0{,}25)e^{-0{,}25t} = 20e^{-0{,}25t}(1 - 0{,}25t) = 5e^{-0{,}25t}(4 - t)$ .
3. $e^{-0{,}25t} > 0$ , поэтому знак $C'$ — знак $4 - t$ : $C' > 0$ на $[0; 4)$ и $C' < 0$ на $(4; +\infty)$ .
4. $C$ возрастает на $[0; 4]$ и убывает на $[4; +\infty)$ , поэтому $C(4)$ — наибольшее значение (одна точка на луче): $C(4) = 80e^{-1} = \frac{80}{e} \approx 29{,}4$ .

Ответ: через 4 ч; $\frac{80}{e} \approx 29{,}4$ мг/л

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать