тема 4 из 19

Наибольшее и наименьшее значение на отрезке

Непрерывная на отрезке функция принимает на нём наибольшее и наименьшее значения. Они бывают только в критических точках внутри отрезка или в его концах. Поэтому достаточно вычислить функцию в этих точках и выбрать самое большое и самое маленькое число.

Часто в задании17На карте навыков

Наибольшее значение на отрезке
—В аналитике

Наибольшее и наименьшее значение на отрезке [a; b]

Функция непрерывна на отрезке $[a; b]$ .

Найдите $f'(x)$ и критические точки.
Оставьте только критические точки внутри $(a; b)$ .
Вычислите $f$ в этих точках и в концах $a$ и $b$ .
Самое большое из этих чисел — наибольшее значение, самое маленькое — наименьшее. В ответ пишут значение $f$ , а не $x$ .

Почему хватает этих точек

Функция, непрерывная на отрезке, всегда принимает на нём наибольшее и наименьшее значения (теорема Вейерштрасса). Если такое значение принято внутри отрезка, это точка экстремума, а экстремум бывает только в критической точке. Других мест, кроме критических точек и концов, нет.

Кандидаты на отрезке

f(x) = x^3 - 3x

f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x + 1)(x - 1)

[a;\ b] = [-1{,}5;\ 2]

Критические точки внутри отрезка:

-1

1

f(-1{,}5) = 1{,}125,\quad f(-1) = 2,\quad f(1) = -2,\quad f(2) = 2

Наибольшее значение:

f(-1) = f(2) = 2

Наименьшее значение:

f(1) = -2

Кандидаты — концы отрезка и критические точки внутри него, их значения выписаны под графиком. Полоса под графиком — знаки

f'

на отрезке. Двигайте концы

a

b

по оси.

Концы отрезка — тоже кандидаты

Наибольшее значение может быть в конце отрезка, даже если внутри есть точка максимума. Поэтому значения в обоих концах вычисляют всегда. Критическую точку вне отрезка не берут: значение в ней к отрезку не относится.

Пример

Найдите наибольшее значение функции $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 7$ на отрезке $[0; 6]$ .

1. $y' = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3)$ . Критические точки $-1$ и $3$ .
2.Точка $-1$ вне отрезка $[0; 6]$ , её не берём. Внутри отрезка остаётся $x = 3$ .
3. $y(0) = 7$ , $y(3) = 27 - 27 - 27 + 7 = -20$ , $y(6) = 216 - 108 - 54 + 7 = 61$ .
4.Самое большое число — 61, в правом конце отрезка. Точка 3 — точка минимума: в ней наименьшее значение.

Ответ: $61$

Функция монотонна на отрезке

Если внутри отрезка нет критических точек, знак $f'$ на всём отрезке один, и функция на нём монотонна. Тогда оба ответа — в концах (производная не меняет знак): у возрастающей функции наибольшее значение $f(b)$ , у убывающей — $f(a)$ .

Пример

Найдите наименьшее значение функции $y = x^3 + 3x - 4$ на отрезке $[-1; 2]$ .

1. $y' = 3x^2 + 3 > 0$ при всех $x$ : критических точек нет.
2.Функция возрастает на $[-1; 2]$ , наименьшее значение — в левом конце.
3. $y(-1) = -1 - 3 - 4 = -8$ .

Ответ: $-8$

Единственная точка экстремума на промежутке

Пусть функция непрерывна на промежутке (отрезке, интервале или луче) и у неё на нём одна точка экстремума — точка максимума. Слева от неё функция возрастает, справа убывает. Поэтому в этой точке функция принимает наибольшее значение на всём промежутке. Единственная точка минимума так же даёт наименьшее значение.

Так решают задачи, где область — интервал или луч и концов для сравнения нет. В задании 17 это обоснование записывают промежутками возрастания и убывания до границ области (одна критическая точка на луче).

Пример

Найдите наибольшее значение функции $f(x) = 12x - x^3$ на луче $[0; +\infty)$ .

1. $f'(x) = 12 - 3x^2 = 3(2 - x)(2 + x)$ . На луче $[0; +\infty)$ $f'(x) = 0$ только при $x = 2$ .
2. $f'(x) > 0$ при $0 \le x < 2$ и $f'(x) < 0$ при $x > 2$ . Значит, $f$ возрастает на $[0; 2]$ и убывает на $[2; +\infty)$ .
3. $x = 2$ — единственная точка экстремума, это точка максимума. Наибольшее значение $f(2) = 24 - 8 = 16$ .

Ответ: $16$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать