тема 12 из 19

Исследование функции с логарифмом

Логарифм определён только при положительном аргументе, поэтому область записывают первой. Производная $\ln u$ равна $\frac{u'}{u}$ . После приведения к одной дроби знаменатель положителен на области, и знак производной задаёт числитель. Степень под логарифмом выносят вперёд только с учётом области.

Часто в задании17На карте навыков

Производная функций с логарифмом
—В аналитике

Сначала область, потом производная

$(\ln x)' = \frac{1}{x}$ , $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ . Функция с $\ln u$ определена только при $u > 0$ .

Запишите область: аргумент каждого логарифма положителен (ОДЗ логарифма), плюс условия задачи.
Степень под логарифмом вынесите вперёд: $\ln u^3 = 3\ln u$ , но $\ln u^2 = 2\ln|u|$ (логарифм степени).
Найдите $f'$ и приведите к одной дроби. На области знаменатель $u$ положителен, поэтому знак $f'$ — знак числителя.
Значение в точке вычислите точно: $\ln 1 = 0$ , $\ln e = 1$ .

Функция с ln x

Для $f(x) = a\ln x + bx + c$ при $x > 0$ производная $f'(x) = \frac{a}{x} + b = \frac{a + bx}{x}$ . Знаменатель $x$ положителен, поэтому знак $f'$ — знак $a + bx$ . Числитель линейный, и критическая точка одна: $x_0 = -\frac{a}{b}$ .

$\ln\frac{x}{k} = \ln x - \ln k$ отличается от $\ln x$ на число, поэтому производная у них одна: $\frac{1}{x}$ .

Пример

Затраты на одну деталь (в рублях) при выпуске $x$ сотен деталей в сутки равны $C(x) = 4x - 12\ln\frac{x}{3} + 10$ , где $1 \le x \le 10$ . Найдите наименьшие затраты на одну деталь и суточный выпуск, при котором они достигаются. Ответ обоснуйте.

1.Область: $1 \le x \le 10$ , на ней $\frac{x}{3} > 0$ .
2. $\ln\frac{x}{3} = \ln x - \ln 3$ , поэтому $C'(x) = 4 - \frac{12}{x} = \frac{4(x - 3)}{x}$ .
3.При $x > 0$ знак $C'$ — знак $x - 3$ : $C' < 0$ на $[1; 3)$ и $C' > 0$ на $(3; 10]$ .
4. $C$ убывает на $[1; 3]$ и возрастает на $[3; 10]$ , поэтому $C(3)$ — наименьшее значение: $C(3) = 12 - 12\ln 1 + 10 = 22$ .

Ответ: 22 рубля при выпуске 300 деталей в сутки

Квадратный числитель

Если в функции есть ещё слагаемое $cx^2$ , производная $f'(x) = \frac{a}{x} + b + 2cx = \frac{2cx^2 + bx + a}{x}$ . При $x > 0$ знак $f'$ — знак квадратного трёхчлена в числителе. Разложите его на множители: критических точек может быть две, и по знакам на промежутках найдите, какая из них — точка максимума. Корни $x \le 0$ в область не входят.

Максимум c ln x − x при разных c

f(x) = 3\ln x - x

c

3

f'(x) = \frac{3}{x} - 1 = \frac{3 - x}{x}

При

x = 1

f'(1) = 2 > 0

, функция возрастает.

x_{\max} = 3,\quad f(3) = 3\ln 3 - 3 \approx 0{,}3

Кривая — график

f(x) = c\ln x - x

при

x > 0

, полоса внизу — знак

f'

. Касательная зелёная там, где функция возрастает, и красная там, где убывает. Двигайте точку по графику и меняйте

c

Логарифм линейной функции

$(\ln(kx + b))' = \frac{k}{kx + b}$ , область — $kx + b > 0$ . Приведите производную к общему знаменателю $kx + b$ : на области он положителен, и знак производной — знак числителя. Проверьте, что отрезок из условия лежит в области.

Пример

Найдите наибольшее значение функции $y = 8\ln(x + 7) - 8x + 3$ на отрезке $[-6{,}5; 0]$ .

1.Область: $x + 7 > 0$ , то есть $x > -7$ . Отрезок $[-6{,}5; 0]$ лежит в ней.
2. $y' = \frac{8}{x + 7} - 8 = \frac{8 - 8(x + 7)}{x + 7} = \frac{-8(x + 6)}{x + 7}$ .
3.На отрезке $x + 7 > 0$ , поэтому знак $y'$ — знак $-(x + 6)$ : $y' > 0$ на $[-6{,}5; -6)$ и $y' < 0$ на $(-6; 0]$ .
4.Функция возрастает на $[-6{,}5; -6]$ и убывает на $[-6; 0]$ , поэтому наибольшее значение — $y(-6) = 8\ln 1 + 48 + 3 = 51$ .

Ответ: $51$

Степень под логарифмом

$\ln u^k = k\ln u$ при $u > 0$ . Для нечётной степени условие $u^k > 0$ равносильно $u > 0$ , поэтому степень выносят сразу. Для чётной степени $u^2 > 0$ при любом $u \ne 0$ , и $\ln u^2 = 2\ln|u|$ (чётная степень под логарифмом).

Если условие задачи даёт $u > 0$ , модуль снимают: при $x > 3$ $\ln(x - 3)^2 = 2\ln(x - 3)$ .

Пример

Найдите наименьшее значение функции $y = 3x - \ln(x + 3)^3$ на отрезке $[-2{,}5; 0]$ .

1.Область: $(x + 3)^3 > 0$ , то есть $x > -3$ . Отрезок лежит в ней, и $\ln(x + 3)^3 = 3\ln(x + 3)$ .
2. $y = 3x - 3\ln(x + 3)$ , $y' = 3 - \frac{3}{x + 3} = \frac{3(x + 2)}{x + 3}$ .
3.На отрезке $x + 3 > 0$ , поэтому знак $y'$ — знак $x + 2$ : $y' < 0$ на $[-2{,}5; -2)$ и $y' > 0$ на $(-2; 0]$ .
4.Функция убывает на $[-2{,}5; -2]$ и возрастает на $[-2; 0]$ , поэтому наименьшее значение — $y(-2) = -6 - 3\ln 1 = -6$ .

Ответ: $-6$

Логарифм с основанием a

При $a > 1$ функция $\log_a t$ возрастает (два основания), и $\ln t$ тоже: $e > 1$ . Поэтому $\log_a u(x)$ наибольший и наименьший там же, где $u(x)$ , если в этих точках $u > 0$ . Производная это подтверждает: $(\log_a u)' = \frac{u'}{u\ln a}$ (таблица производных), и при $a > 1$ , $u > 0$ её знак — знак $u'$ . При $0 < a < 1$ логарифм убывает, и максимум с минимумом меняются местами.

Пример

Найдите наименьшее значение функции $y = \log_3(x^2 - 6x + 10) + 2$ .

1. $u = x^2 - 6x + 10 = (x - 3)^2 + 1 \ge 1$ при всех $x$ , поэтому функция определена на всей прямой.
2.Основание $3 > 1$ , поэтому $y$ наименьшее там, где наименьшее $u$ : в вершине параболы $x = 3$ , $u(3) = 1$ .
3. $y(3) = \log_3 1 + 2 = 2$ .

Ответ: $2$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать