тема 13 из 19

Исследование тригонометрической функции

Если функция зависит от угла, её производная содержит синус и косинус. Критические точки — корни тригонометрического уравнения, но берут только те, что лежат на промежутке угла из условия. На таком промежутке табличное значение обычно встречается один раз, а знак производной находят по множителям.

Часто в задании17На карте навыков

Производная тригонометрических функций
—В аналитике

Корни производной — только на промежутке угла

$(\sin x)' = \cos x$ , $(\cos x)' = -\sin x$ (таблица производных).

Запишите промежуток угла из смысла задачи: угол наклона стенки $0^\circ < \alpha \le 90^\circ$ , угол треугольника $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ .
Найдите $f'$ и сведите её к одной функции угла (косинус двойного угла).
Разложите $f'$ на множители и возьмите корни на промежутке (табличные значения).
Знак $f'$ слева и справа от корня найдите по множителям: на промежутке угла часть из них положительна.

Площадь как функция угла

Жёлоб согнут из полосы: дно шириной $a$ и две стенки шириной $a$ под углом $\alpha$ к дну. Сечение — равнобокая трапеция с высотой $a\sin\alpha$ и большим основанием $a + 2a\cos\alpha$ . Её площадь $S(\alpha) = \frac{a + (a + 2a\cos\alpha)}{2} \cdot a\sin\alpha = a^2\sin\alpha\,(1 + \cos\alpha)$ .

$S'(\alpha) = a^2(\cos\alpha + \cos^2\alpha - \sin^2\alpha) = a^2(\cos\alpha + \cos 2\alpha) = a^2(2\cos\alpha - 1)(\cos\alpha + 1)$ . На $(0^\circ; 90^\circ]$ множитель $\cos\alpha + 1$ положителен, и знак $S'$ — знак $2\cos\alpha - 1$ .

Пример

Из полосы жести шириной 36 см делают открытый сверху жёлоб. Полосу сгибают вдоль двух линий на три части по 12 см и загибают боковые части вверх под одним и тем же углом $\alpha$ к дну, $0^\circ < \alpha \le 90^\circ$ . Найдите наибольшую площадь поперечного сечения жёлоба. Ответ обоснуйте.

Сечение жёлоба: дно

AB

и стенки

AD

BC

по 12 см.

1.Высота трапеции $12\sin\alpha$ , большее основание $12 + 24\cos\alpha$ . $S(\alpha) = \frac{12 + 12 + 24\cos\alpha}{2} \cdot 12\sin\alpha = 144\sin\alpha\,(1 + \cos\alpha)$ , $0^\circ < \alpha \le 90^\circ$ .
2. $S'(\alpha) = 144(\cos\alpha + \cos 2\alpha) = 144(2\cos\alpha - 1)(\cos\alpha + 1)$ .
3. $\cos\alpha + 1 > 0$ , поэтому знак $S'$ — знак $2\cos\alpha - 1$ . На промежутке $\cos\alpha = \frac{1}{2}$ только при $\alpha = 60^\circ$ .
4.При $0^\circ < \alpha < 60^\circ$ $\cos\alpha > \frac{1}{2}$ и $S' > 0$ ; при $60^\circ < \alpha \le 90^\circ$ $S' < 0$ . $S$ возрастает, потом убывает, поэтому $S(60^\circ)$ — наибольшее значение.
5. $S(60^\circ) = 144 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} = 108\sqrt{3}$ .

Ответ: $108\sqrt{3}$ см²

Угол в градусах

Угол из условия можно оставить в градусах. Если $\alpha$ — угол в градусах, то в радианах он равен $\frac{\pi\alpha}{180}$ . Поэтому производная по градусам равна производной по радианам, умноженной на положительное число $\frac{\pi}{180}$ . Знаки производной и критические точки от этого не меняются, а значение функции в точке от единиц угла не зависит.

Жёлоб: угол стенок и площадь

S(\alpha) = 144\sin\alpha\,(1 + \cos\alpha)

\alpha

30^\circ

h = 6,\ \text{верх} \approx 32{,}78,\ S \approx 134{,}35

При

\alpha = 30^\circ

\cos\alpha \approx 0{,}87 > \frac{1}{2}

S' > 0

, площадь растёт.

S_{\max} = S(60^\circ) = 108\sqrt{3} \approx 187{,}06

Сверху — сечение жёлоба: дно и две стенки по 12 см. Снизу — площадь сечения как функция угла

\alpha

. Тяните край стенки или двигайте ползунок.

Синус, косинус или тангенс и линейное слагаемое

У функции $y = a\sin x + bx + c$ производная $y' = a\cos x + b$ . Она равна нулю, когда $\cos x = -\frac{b}{a}$ . Для $y = a\cos x + bx + c$ так же решают $\sin x = \frac{b}{a}$ . Для $y = a\operatorname{tg} x + bx + c$ производная $y' = \frac{a}{\cos^2 x} + b$ , и уравнение — $\cos^2 x = -\frac{a}{b}$ . Из корней возьмите те, что лежат на отрезке, и сравните знаки $y'$ по обе стороны.

Если корня на отрезке нет, функция монотонна, и ответ — на конце отрезка. Если $|b| > |a|$ , у уравнения для синуса или косинуса корней нет вовсе: функция монотонна на всей прямой, и точек экстремума у неё нет. Слагаемые с $\pi$ в условии в критической точке обычно сокращаются, и ответ — число без $\pi$ .

Пример

Найдите наибольшее значение функции $y = 12\sin x - 6\sqrt{3}x + \sqrt{3}\pi + 6$ на отрезке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$ .

1. $y' = 12\cos x - 6\sqrt{3} = 12\left(\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ .
2.На $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$ косинус убывает от 1 до 0 и равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ только при $x = \frac{\pi}{6}$ .
3.При $0 \le x < \frac{\pi}{6}$ $\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $y' > 0$ ; при $\frac{\pi}{6} < x \le \frac{\pi}{2}$ $y' < 0$ . Функция возрастает, потом убывает.
4.Наибольшее значение — $y\left(\frac{\pi}{6}\right) = 12 \cdot \frac{1}{2} - 6\sqrt{3} \cdot \frac{\pi}{6} + \sqrt{3}\pi + 6 = 6 - \sqrt{3}\pi + \sqrt{3}\pi + 6 = 12$ .

Ответ: $12$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать