тема 6 из 19

Обоснование наибольшего и наименьшего значения

Найти точку, где производная равна нулю, мало: надо показать, что значение в ней наибольшее или наименьшее на всей области задачи. Для этого записывают знак производной на каждом промежутке области и вывод о возрастании и убывании. Если функция сначала возрастает, а потом убывает, в точке перехода — наибольшее значение; если сначала убывает, а потом возрастает — наименьшее.

Часто в задании17На карте навыков

Знак производной на всей области и вывод

Обоснование показывает, что значение в найденной точке не меньше (или не больше) значений во всех остальных точках области.

Запишите целевую функцию и её область (целевая функция).
Найдите производную и точки области, где она равна нулю или не существует (критические точки).
Определите знак производной на каждом промежутке области между этими точками.
Сделайте вывод: где $f' > 0$ , функция возрастает; где $f' < 0$ — убывает.
Возрастает до $x_0$ , потом убывает — $f(x_0)$ наибольшее. Убывает до $x_0$ , потом возрастает — $f(x_0)$ наименьшее.
Вычислите значение и ответьте на вопрос задачи.

Наибольшее: возрастает, потом убывает

Пусть функция непрерывна на области, $f'(x) > 0$ во всех точках области левее $x_0$ и $f'(x) < 0$ во всех точках правее неё. Тогда до $x_0$ функция возрастает, а после — убывает. Значит, $f(x) \le f(x_0)$ для каждого $x$ области: $f(x_0)$ — наибольшее значение.

Знак производной читают по множителям. Положительный знаменатель вида $(t^2 + 4)^2$ знак не меняет, и знак $f'$ равен знаку числителя. Числитель разложите на множители и отбросьте те, что положительны на всей области.

Пример

После укола концентрация препарата в крови пациента (в мг/л) меняется по закону $C(t) = \frac{40t}{t^2 + 4}$ , где $t \ge 0$ — время в часах, прошедшее с момента укола. Через какое время концентрация препарата будет наибольшей? Найдите эту наибольшую концентрацию. Ответ обоснуйте.

1.Область: $t \ge 0$ .
2. $C'(t) = \frac{40(t^2 + 4) - 40t \cdot 2t}{(t^2 + 4)^2} = \frac{40(2 - t)(2 + t)}{(t^2 + 4)^2}$ .
3.При $t \ge 0$ знаменатель и множитель $2 + t$ положительны, поэтому знак $C'$ — знак $2 - t$ . $C' = 0$ только при $t = 2$ .
4. $C' > 0$ при $0 \le t < 2$ и $C' < 0$ при $t > 2$ . Функция возрастает на $[0; 2]$ и убывает на $[2; +\infty)$ , поэтому $C(2)$ — наибольшее значение.
5. $C(2) = \frac{80}{8} = 10$ .

Ответ: через 2 ч; 10 мг/л

Наименьшее: убывает, потом возрастает

Если $f'(x) < 0$ во всех точках области левее $x_0$ и $f'(x) > 0$ во всех точках правее, функция убывает до $x_0$ и возрастает после. Тогда $f(x) \ge f(x_0)$ на всей области: $f(x_0)$ — наименьшее значение. Так обосновывают наименьшую стоимость, площадь, расход.

Множитель вида $v^3 - 8000$ раскладывают как разность кубов: $(v - 20)(v^2 + 20v + 400)$ . Второй множитель положителен при $v > 0$ , и знак выражения — знак $v - 20$ .

Пример

Теплоход идёт по каналу с постоянной скоростью $v$ км/ч. За один час хода двигатель расходует $16 + 0{,}001v^3$ литров топлива. Капитан может выбрать любую скорость $v > 0$ . Найдите наименьший возможный расход топлива на 1 км пути. Ответ дайте в литрах. Ответ обоснуйте.

1.1 км теплоход проходит за $\frac{1}{v}$ ч (расход на километр). Расход на 1 км: $f(v) = \frac{16 + 0{,}001v^3}{v} = \frac{16}{v} + 0{,}001v^2$ , $v > 0$ .
2. $f'(v) = -\frac{16}{v^2} + 0{,}002v = \frac{0{,}002(v^3 - 8000)}{v^2} = \frac{0{,}002(v - 20)(v^2 + 20v + 400)}{v^2}$ .
3.При $v > 0$ знак $f'$ — знак $v - 20$ : $f' < 0$ при $0 < v < 20$ , $f' > 0$ при $v > 20$ .
4. $f$ убывает на $(0; 20]$ и возрастает на $[20; +\infty)$ , поэтому $f(20)$ — наименьшее значение: $f(20) = 0{,}8 + 0{,}4 = 1{,}2$ .

Ответ: 1,2 л

Одна критическая точка на луче или интервале

Если область — луч или интервал, концов для сравнения нет. Обоснование тогда — единственная точка экстремума: внутри области одна критическая точка, слева от неё один знак производной, справа другой. Запишите промежутки возрастания и убывания до самых границ области, а не только рядом с точкой.

Слова « $x_0$ — точка максимума» без промежутков наибольшее значение не доказывают (максимум и наибольшее значение).

Пример

Биологи установили, что если на пастбище содержать $x$ животных на одном гектаре, то годовой прирост стада (в особях на гектар) описывается функцией $N(x) = 60\sqrt{x} - 5x$ , где $x > 0$ . Фермер выбирает плотность $x$ . Найдите наибольший возможный годовой прирост стада на одном гектаре. Ответ обоснуйте.

1.Область: $x > 0$ , концов нет.
2. $N'(x) = \frac{60}{2\sqrt{x}} - 5 = \frac{30 - 5\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{5(6 - \sqrt{x})}{\sqrt{x}}$ . Знак $N'$ — знак $6 - \sqrt{x}$ .
3. $N' = 0$ при $\sqrt{x} = 6$ , $x = 36$ . $N' > 0$ при $0 < x < 36$ , $N' < 0$ при $x > 36$ .
4. $N$ возрастает на $(0; 36]$ и убывает на $[36; +\infty)$ , поэтому $N(36)$ — наибольшее значение на всей области: $N(36) = 60 \cdot 6 - 180 = 180$ .

Ответ: 180 особей на гектар

Отрезок: точки внутри и концы

Если область — отрезок $[a; b]$ , вместо промежутков знаков можно сравнить значения во всех критических точках внутри отрезка и на обоих концах (значения на отрезке). Этот способ нужен, когда критических точек внутри несколько.

Граница из условия может отрезать критическую точку. Тогда на всей области производная одного знака, функция монотонна (монотонна на отрезке), и ответ — на конце. Корень вне области отбрасывают явно: « $x = 5$ не подходит, так как $x \le 4$ ».

Пример

Цех выпускает $x$ тонн продукции в сутки, причём по техническим причинам $0 \le x \le 4$ . Суточная прибыль равна $P(x) = 75x - x^3 - 50$ тыс. рублей. Найдите наибольшую суточную прибыль. Ответ обоснуйте.

1. $P'(x) = 75 - 3x^2 = 3(5 - x)(5 + x)$ . Корни $x = \pm 5$ не лежат на отрезке $[0; 4]$ .
2.На $[0; 4]$ оба множителя $5 - x$ и $5 + x$ положительны: $P' > 0$ , и $P$ возрастает на всём отрезке.
3.Наибольшее значение — на правом конце: $P(4) = 300 - 64 - 50 = 186$ .

Ответ: 186 тыс. рублей

Что писать в решении задания 17

Задание 17 оценивают в 2 балла. 2 балла ставят, если обоснованно получен верный ответ. 1 балл ставят, если ответ неверен из-за вычислительной ошибки, но все шаги решения верны. Верный ответ без решения даёт 0 баллов.

Полное решение содержит: функцию одной переменной и её область по смыслу; производную; критические точки в области; знак производной на промежутках и вывод о возрастании и убывании; значение в найденной точке и ответ на вопрос с единицами. Если вместо функции исследуют другую — её квадрат или знаменатель, — напишите, почему наибольшие значения достигаются в одной и той же точке (квадрат вместо корня).

Полное решение: каждый вывод с причиной

В полном решении у каждого вывода есть причина. Формула функции — из условия, область — из смысла величин. Знак производной — из знаков её множителей на области. Наибольшее или наименьшее значение — из промежутков возрастания и убывания до самых границ области.

Пример

Перед каждым отопительным сезоном трубопровод покрывают новым слоем теплоизоляции толщиной $x$ см, где $x > 0$ . Изоляция такого слоя стоит $12x$ тысяч рублей. Тепловые потери за один отопительный сезон обратно пропорциональны толщине слоя: при толщине 1 см они обходятся в 300 тысяч рублей за сезон. При какой толщине слоя суммарные затраты за один сезон (стоимость изоляции и стоимость теплопотерь) будут наименьшими? Найдите эти наименьшие затраты. Ответ обоснуйте.

1.Потери обратно пропорциональны толщине: они равны $\frac{k}{x}$ тыс. рублей (обратная пропорциональность). При $x = 1$ потери равны 300, поэтому $k = 300$ .
2.Суммарные затраты в тыс. рублей: $C(x) = 12x + \frac{300}{x}$ , область $x > 0$ .
3. $C'(x) = 12 - \frac{300}{x^2} = \frac{12(x^2 - 25)}{x^2} = \frac{12(x - 5)(x + 5)}{x^2}$ . При $x > 0$ производная существует.
4.При $x > 0$ множители $x + 5$ и $x^2$ положительны, поэтому знак $C'$ — знак $x - 5$ . $C' = 0$ только при $x = 5$ , $C' < 0$ при $0 < x < 5$ , $C' > 0$ при $x > 5$ .
5. $C$ убывает на $(0; 5]$ и возрастает на $[5; +\infty)$ . Значит, $C(x) \ge C(5)$ при всех $x > 0$ , и $C(5)$ — наименьшее значение: $C(5) = 60 + 60 = 120$ .

Ответ: при толщине 5 см; 120 тыс. рублей

Проверьте себя

Все задания на этот навык

Решать