тема 10 из 19

Вершина параболы в задаче на оптимум

Если целевая функция квадратичная, производная не нужна: наибольшее или наименьшее значение даёт вершина параболы. Это верно, только если вершина лежит в области задачи; иначе функция на области монотонна, и ответ — на ближайшем к вершине конце. Часто функция становится квадратичной после замены, например $u = 2^{-\frac{t}{6}}$ , или под корнем, как квадрат расстояния.

Часто в задании17На карте навыков

Вершина параболы в оптимизации
—В аналитике

Вершина — оптимум, если она в области

У функции $f(x) = ax^2 + bx + c$ вершина параболы — $x_0 = -\frac{b}{2a}$ (вершина параболы). При $a < 0$ в ней наибольшее значение функции (наибольшая прибыль), при $a > 0$ — наименьшее.

Приведите целевую функцию к виду $ax^2 + bx + c$ . Если она квадратичная только в новой переменной, сделайте замену и найдите, какие значения эта переменная принимает.
Найдите вершину $x_0$ и проверьте, что она лежит в области.
Вершина в области — оптимум равен $f(x_0)$ . Вершина вне области — оптимум на ближайшем к ней конце.
После замены вернитесь к исходной переменной: найдите момент или размер, при котором новая переменная равна $x_0$ .

Обоснование без производной

Квадратичная функция с $a < 0$ возрастает на $(-\infty; x_0]$ и убывает на $[x_0; +\infty)$ , с $a > 0$ — наоборот. Это свойство параболы из учебника, поэтому в решении достаточно написать знак $a$ , вершину и то, что она лежит в области. Другая запись того же — выделение полного квадрата (полный квадрат).

Если функция записана произведением $a(x - x_1)(x - x_2)$ , раскрывать скобки не нужно: вершина лежит посередине между нулями, $x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2}$ .

Пример

Биологи установили, что за год биомасса промысловой рыбы $N$ (в тысячах тонн) даёт прирост $g(N) = 0{,}6N\left(1 - \frac{N}{2000}\right)$ тысяч тонн, где $0 \le N \le 2000$ . Если ежегодно вылавливать ровно годовой прирост, биомасса остаётся неизменной, а такой вылов называют устойчивым. При какой биомассе устойчивый годовой вылов наибольший и чему он равен? Обоснуйте ответ.

1.Устойчивый вылов равен приросту: $g(N) = -\frac{0{,}6}{2000}N(N - 2000)$ , $0 \le N \le 2000$ .
2.Старший коэффициент $-\frac{0{,}6}{2000} < 0$ : ветви вниз. Нули 0 и 2000, вершина $N_0 = \frac{0 + 2000}{2} = 1000$ лежит на $[0; 2000]$ .
3. $g$ возрастает на $[0; 1000]$ и убывает на $[1000; 2000]$ , поэтому $g(1000)$ — наибольшее значение: $g(1000) = 0{,}6 \cdot 1000 \cdot 0{,}5 = 300$ .

Ответ: при 1000 тыс. тонн; 300 тыс. тонн в год

Квадратичная функция после замены

Выражение $2^{-\frac{t}{6}} - 2^{-\frac{t}{3}}$ квадратично относительно $u = 2^{-\frac{t}{6}}$ , потому что $2^{-\frac{t}{3}} = u^2$ . После замены найдите вершину по $u$ . Вершина подходит, только если такое $u$ получается из области: при $t \ge 0$ показатель $-\frac{t}{6} \le 0$ , поэтому $u = 2^{-\frac{t}{6}}$ пробегает $(0; 1]$ : степень положительна и не больше $2^0 = 1$ (значения новой переменной, границы замены).

Последний шаг — вернуться к времени: решить уравнение $2^{-\frac{t}{6}} = u_0$ (показательное уравнение). Так же решают задачу, где квадратична величина $N$ , а спрашивают момент: вершина по $N$ , затем $t$ из $N(t) = N_0$ (скорость образования фермента).

Пример

В медицинском генераторе радионуклидов активность дочернего изотопа (в МБк) меняется со временем по закону $A(t) = 40\left(2^{-\frac{t}{6}} - 2^{-\frac{t}{3}}\right)$ , где $t \ge 0$ — время в часах. Найдите наибольшую активность препарата и момент времени, когда она достигается. Ответ обоснуйте.

1.Пусть $u = 2^{-\frac{t}{6}}$ . Тогда $2^{-\frac{t}{3}} = u^2$ и $A = 40(u - u^2) = -40u^2 + 40u$ . При $t \ge 0$ число $u$ принимает все значения из $(0; 1]$ .
2. $a = -40 < 0$ , вершина $u_0 = -\frac{40}{2 \cdot (-40)} = \frac{1}{2}$ , и $\frac{1}{2} \in (0; 1]$ . Значит, наибольшее значение $A$ — при $u = \frac{1}{2}$ : $A = 40\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) = 10$ .
3. $2^{-\frac{t}{6}} = \frac{1}{2} = 2^{-1}$ , поэтому $-\frac{t}{6} = -1$ , $t = 6$ .

Ответ: 10 МБк через 6 ч

Наименьшее расстояние: квадрат под корнем

Расстояние между движущимися телами наименьшее там же, где наименьший его квадрат $f(t) = \rho^2(t)$ (квадрат расстояния). Если координаты линейны по $t$ , то $f(t)$ — квадратичная функция с $a > 0$ , и её наименьшее значение — в вершине.

Пример

Два самолёта летят на одной высоте по взаимно перпендикулярным прямолинейным курсам. В начальный момент первый самолёт находится в 400 км от точки пересечения курсов и приближается к ней со скоростью 300 км/ч, а второй находится в 300 км от той же точки и приближается к ней со скоростью 400 км/ч. Оба самолёта не меняют курс и скорость. Найдите наименьшее расстояние между самолётами и момент времени, в который оно достигается. Обоснуйте ответ.

1.Начало координат — точка пересечения курсов. Через $t$ ч, $t \ge 0$ , самолёты в точках $(300t - 400; 0)$ и $(0; 400t - 300)$ .
2. $\rho^2(t) = (300t - 400)^2 + (400t - 300)^2 = 250\,000t^2 - 480\,000t + 250\,000$ .
3. $a = 250\,000 > 0$ , вершина $t_0 = \frac{480\,000}{2 \cdot 250\,000} = 0{,}96$ , и $t_0 \ge 0$ . На $[0; 0{,}96]$ функция $\rho^2$ убывает, на $[0{,}96; +\infty)$ возрастает.
4. $\rho^2(0{,}96) = (-112)^2 + 84^2 = 19\,600$ , $\rho = 140$ .

Ответ: 140 км через 0,96 ч

Вершина вне области

Если вершина не лежит в области, то на всей области функция только возрастает или только убывает. Тогда оптимум — на конце области, ближайшем к вершине. Значение в вершине в ответ не идёт: такой объём или такой момент невозможен.

Пример

Завод выпускает $x$ тонн продукции в месяц, причём $0 \le x \le 50$ . Месячная прибыль равна $P(x) = -2x^2 + 280x - 400$ тыс. рублей. Найдите наибольшую прибыль. Ответ обоснуйте.

1. $a = -2 < 0$ , вершина $x_0 = -\frac{280}{2 \cdot (-2)} = 70$ .
2. $70$ не лежит на отрезке $[0; 50]$ . Парабола возрастает на $(-\infty; 70]$ , поэтому на $[0; 50]$ прибыль возрастает.
3.Наибольшее значение — на правом конце: $P(50) = -5000 + 14\,000 - 400 = 8600$ .

Ответ: 8600 тыс. рублей

Второй оптимум — на конце

На отрезке у квадратичной функции есть оба оптимума. При ветвях вниз наибольшее значение — в вершине (если она на отрезке), а наименьшее — на конце, дальнем от вершины. При ветвях вверх наоборот.

Вершина и область

f(x) = 5 - 0{,}25(x - 4)^2

Вершина

x_0 = 4

на отрезке

[1; 6]

: наибольшее значение

f(4) = 5

Наименьшее значение — на дальнем конце:

f(1) = 2{,}75

Синий отрезок на оси — область задачи. Оранжевая точка — оптимум функции на этой области. Двигайте концы отрезка и меняйте направление ветвей.

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать