тема 11 из 19

Оценка неравенством в задаче на оптимум

Оптимум можно найти без производной: доказать неравенство $f(x) \ge m$ (или $f(x) \le M$ ) для всех $x$ области и показать точку, где оно обращается в равенство. Главные оценки — неравенство о среднем $a + b \ge 2\sqrt{ab}$ , полный квадрат и ограниченность синуса и косинуса. Если точка равенства не лежит в области, оценка ответа не даёт.

Часто в задании17На карте навыков

Неравенство в оптимизации
—В аналитике

Оценка и точка равенства

Число $m$ — наименьшее значение функции $f$ на области, если $f(x) \ge m$ для каждого $x$ области и $f(x_0) = m$ хотя бы для одного $x_0$ области. Для наибольшего значения $M$ — так же, с $f(x) \le M$ .

Запишите целевую функцию и область (целевая функция).
Оцените функцию: неравенство о среднем, полный квадрат или $|\sin\alpha| \le 1$ .
Найдите, когда неравенство обращается в равенство.
Проверьте, что эта точка лежит в области. Только тогда граница оценки — ответ.

Неравенство о среднем

Для $a > 0$ и $b > 0$ верно $a + b \ge 2\sqrt{ab}$ , и равенство — только при $a = b$ . Отсюда при $x > 0$ и $c > 0$ : $x + \frac{c}{x} \ge 2\sqrt{c}$ , равенство при $x = \sqrt{c}$ . Оценка работает, когда произведение двух положительных слагаемых не зависит от переменной.

Точка равенства должна лежать в области. При $x \ge 4$ неравенство $x + \frac{9}{x} \ge 6$ верно, но значения 6 нет: равенство требует $x = 3$ . Так же оценкой решают задачу из демоверсии: при $R > 0$ верно $\frac{2500R}{(R + 1)^2} = \frac{2500}{R + \frac{1}{R} + 2} \le \frac{2500}{4} = 625$ , и равенство — при $R = 1$ .

Пример

Лампочку и экран располагают по разные стороны от собирающей линзы с фокусным расстоянием $f = 9$ см. Изображение лампочки на экране чёткое, если расстояние $d_1$ от лампочки до линзы и расстояние $d_2$ от линзы до экрана связаны формулой $\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}$ . Найдите наименьшее возможное расстояние между лампочкой и экраном, при котором изображение на экране может быть чётким. Ответ обоснуйте.

1. $\frac{1}{d_2} = \frac{1}{9} - \frac{1}{d_1} = \frac{d_1 - 9}{9d_1}$ , $d_2 = \frac{9d_1}{d_1 - 9}$ . Так как $d_2 > 0$ , то $d_1 > 9$ .
2.Пусть $u = d_1 - 9$ , $u > 0$ . Тогда $d_1 = 9 + u$ , $d_2 = \frac{9(9 + u)}{u} = 9 + \frac{81}{u}$ , и $L = d_1 + d_2 = 18 + u + \frac{81}{u}$ .
3.По неравенству о среднем $u + \frac{81}{u} \ge 2\sqrt{81} = 18$ , поэтому $L \ge 36$ .
4.Равенство при $u = \frac{81}{u}$ , то есть $u = 9 > 0$ : $d_1 = d_2 = 18$ . Проверка: $\frac{1}{18} + \frac{1}{18} = \frac{1}{9}$ . Значение 36 достигается, значит, оно наименьшее.

Ответ: 36 см

Смысл оценки: квадрат

У прямоугольника со сторонами $x$ и $\frac{c}{x}$ площадь равна $c$ при любом $x$ , а полупериметр равен $x + \frac{c}{x}$ . Неравенство о среднем говорит: из всех прямоугольников площади $c$ наименьший периметр у квадрата со стороной $\sqrt{c}$ .

Прямоугольник постоянной площади

x + \frac{9}{x} = 2 + 4{,}5 = 6{,}5

Стороны разные: сумма больше

6

на

0{,}5

Площадь прямоугольника не меняется:

x \cdot \frac{9}{x} = 9

. Полоса внизу — сумма сторон

x + \frac{9}{x}

рядом с отрезком

2\sqrt{9} = 6

. Двигайте угол прямоугольника.

Полный квадрат

Квадрат неотрицателен, поэтому $(x - a)^2 + m \ge m$ и $M - (x - a)^2 \le M$ , а равенство — только при $x = a$ . Квадратичное выражение приводят к такому виду выделением полного квадрата: $64N - N^2 = 1024 - (N - 32)^2$ . Этим же доказывают неравенство о среднем: $a + b - 2\sqrt{ab} = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$ .

Пример

В биореакторе численность культуры бактерий через $t$ часов после начала опыта равна $N(t) = 4 \cdot 2^{\frac{t}{3}}$ млн клеток. Пока численность не превышает 64 млн клеток, скорость образования фермента (в условных единицах в час) описывается формулой $w = N(64 - N)$ . Найдите наибольшую скорость образования фермента и момент времени, в который она достигается. Ответ обоснуйте.

1.При $t \ge 0$ численность растёт от $N(0) = 4$ , а формула верна, пока $N \le 64$ . Значит, $4 \le N \le 64$ .
2. $w = 64N - N^2 = 1024 - (N - 32)^2 \le 1024$ , и равенство — только при $N = 32$ . $32$ лежит на $[4; 64]$ .
3. $4 \cdot 2^{\frac{t}{3}} = 32$ , $2^{\frac{t}{3}} = 8 = 2^3$ , $t = 9$ .

Ответ: 1024 условные единицы в час через 9 ч

Синус не больше единицы

$-1 \le \sin\alpha \le 1$ и $-1 \le \cos\alpha \le 1$ при любом $\alpha$ . Если целевая функция равна $A\sin k\alpha$ при $A > 0$ , то она не больше $A$ , а равна $A$ при $\sin k\alpha = 1$ . Проверьте, что угол с синусом 1 даёт $\alpha$ из области: при $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ угол $2\alpha$ лежит в $(0^\circ; 180^\circ)$ , и $\sin 2\alpha = 1$ только при $2\alpha = 90^\circ$ (табличные значения).

Пример

Спортсмен бросает мяч с поверхности земли со скоростью $v_0 = 20$ м/с под углом $\alpha$ к горизонту, где $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ . Дальность полёта мяча (в метрах) вычисляется по формуле $L = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}$ , где $g = 10$ м/с². При каком угле броска дальность полёта наибольшая? Найдите эту наибольшую дальность. Ответ обоснуйте.

1. $L(\alpha) = \frac{400\sin 2\alpha}{10} = 40\sin 2\alpha$ , $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ .
2. $\sin 2\alpha \le 1$ , поэтому $L \le 40$ .
3.Равенство при $\sin 2\alpha = 1$ . Так как $2\alpha \in (0^\circ; 180^\circ)$ , это $2\alpha = 90^\circ$ , $\alpha = 45^\circ$ — угол из области.

Ответ: при $45^\circ$ ; 40 м

Сумма синуса и косинуса

Для $a > 0$ , $b > 0$ верно $a\cos\alpha + b\sin\alpha \le \sqrt{a^2 + b^2}$ . Доказательство — тождество $(a\cos\alpha + b\sin\alpha)^2 + (a\sin\alpha - b\cos\alpha)^2 = a^2 + b^2$ : раскройте скобки и примените $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ (основное тождество). Второй квадрат неотрицателен, поэтому первый не больше $a^2 + b^2$ .

Равенство — когда второй квадрат равен нулю: $a\sin\alpha = b\cos\alpha$ , то есть $\operatorname{tg}\alpha = \frac{b}{a}$ . При остром $\alpha$ сумма $a\cos\alpha + b\sin\alpha$ положительна, и оценка достигается.

Пример

Ящик весом $P = 500$ Н равномерно тянут по горизонтальному полу, прикладывая силу под углом $\alpha$ к горизонту, где $0^\circ \le \alpha < 90^\circ$ . Коэффициент трения равен $\mu = 0{,}75$ . Модуль приложенной силы (в ньютонах) равен $F(\alpha) = \frac{\mu P}{\cos\alpha + \mu\sin\alpha}$ . Найдите наименьшее значение силы и тангенс угла, при котором оно достигается. Ответ обоснуйте.

1. $F(\alpha) = \frac{375}{\cos\alpha + 0{,}75\sin\alpha}$ . Знаменатель положителен при $0^\circ \le \alpha < 90^\circ$ , поэтому $F$ наименьшая, когда знаменатель наибольший.
2. $\cos\alpha + 0{,}75\sin\alpha \le \sqrt{1 + 0{,}5625} = 1{,}25$ , поэтому $F \ge \frac{375}{1{,}25} = 300$ .
3.Равенство при $\operatorname{tg}\alpha = 0{,}75$ . Такой острый угол есть, он лежит в $[0^\circ; 90^\circ)$ : $\cos\alpha = 0{,}8$ , $\sin\alpha = 0{,}6$ , знаменатель $0{,}8 + 0{,}45 = 1{,}25$ .

Ответ: 300 Н при $\operatorname{tg}\alpha = 0{,}75$

Проверьте себя

Все задания на этот навык

Решать