тема 8 из 19

Исследование многочлена

Производная многочлена — снова многочлен, на степень меньше. Она существует при всех $x$ , поэтому критические точки — только корни уравнения $f'(x) = 0$ . У квадратного трёхчлена такая точка одна, у многочлена третьей степени — не больше двух. Знак $f'$ находят по разложению на множители.

Часто в задании17На карте навыков

Исследование многочлена с помощью производной
—В аналитике

Как исследовать многочлен

Производная многочлена существует при всех $x$ .

Найдите $f'$ почленно: $(x^n)' = nx^{n-1}$ (таблица производных).
Решите уравнение $f'(x) = 0$ . Для квадратного трёхчлена оно линейное, для многочлена третьей степени — квадратное.
Разложите $f'$ на множители и расставьте знаки на области из условия.
Сделайте вывод о точке экстремума. Если область — отрезок, сравните значение в ней со значениями в концах.

Квадратичная модель

Если $f(x) = ax^2 + bx + c$ , то $f'(x) = 2ax + b$ , и критическая точка одна: $x_0 = -\frac{b}{2a}$ . При $a < 0$ знак $f'$ меняется в ней с «+» на «−»: это точка максимума. При $a > 0$ это точка минимума. Это та же вершина параболы, а знак производной сразу даёт обоснование.

Если $x_0$ вне области из условия, функция на этой области монотонна, и ответ — в конце области.

Пример

Автомобиль стоит у светофора. В тот момент, когда с ним поравнялся грузовик, движущийся равномерно и прямолинейно со скоростью $v = 12$ м/с, автомобиль начинает разгон в том же направлении с постоянным ускорением $a = 3$ м/с $^2$ . За $t$ секунд грузовик проходит путь $s_1 = vt$ , а автомобиль — путь $s_2 = \frac{at^2}{2}$ . Найдите наибольшее расстояние, на которое грузовик оторвётся от автомобиля, и время, через которое это произойдёт. Ответ обоснуйте.

1.Грузовик впереди на $d(t) = s_1 - s_2 = 12t - 1{,}5t^2$ м. Это расстояние неотрицательно при $0 \le t \le 8$ .
2. $d'(t) = 12 - 3t$ , $d'(t) = 0$ при $t = 4$ .
3. $d'(t) > 0$ при $0 \le t < 4$ и $d'(t) < 0$ при $4 < t \le 8$ . Значит, $d$ возрастает на $[0; 4]$ и убывает на $[4; 8]$ : $t = 4$ — точка максимума.
4.Наибольшее расстояние $d(4) = 48 - 24 = 24$ м.

Ответ: 24 м через 4 с

Многочлен третьей степени на отрезке

У многочлена третьей степени производная — квадратный трёхчлен: у неё два корня, один или ни одного. Корни вне области из условия отбрасывают. Если область — отрезок, значение в точке экстремума сравнивают со значениями в концах.

Пример

Цех выпускает $x$ тонн продукции в сутки, причём по техническим причинам $0 \le x \le 6$ . Всю продукцию оптовик забирает по цене 48 тыс. рублей за тонну. Суммарные суточные издержки цеха при выпуске $x$ тонн равны $x^3 + 20$ тыс. рублей. Найдите наибольшую суточную прибыль цеха и объём выпуска, при котором она достигается. Ответ обоснуйте.

1.Прибыль — выручка минус издержки: $P(x) = 48x - x^3 - 20$ , $0 \le x \le 6$ .
2. $P'(x) = 48 - 3x^2 = 3(4 - x)(4 + x)$ . Корень $-4$ вне отрезка, на $[0; 6]$ $P'(x) = 0$ только при $x = 4$ .
3. $P'(x) > 0$ при $0 \le x < 4$ и $P'(x) < 0$ при $4 < x \le 6$ . Значит, $P$ возрастает на $[0; 4]$ и убывает на $[4; 6]$ : $x = 4$ — точка максимума.
4. $P(4) = 192 - 64 - 20 = 108$ . В концах меньше: $P(0) = -20$ , $P(6) = 288 - 216 - 20 = 52$ .

Ответ: 108 тыс. рублей при выпуске 4 т

Многочлен в виде произведения: объём коробки

Если многочлен задан произведением, например $V(x) = x(a - 2x)^2$ , скобки раскрывать не нужно. Возьмите производную по формуле $(uv)' = u'v + uv'$ и вынесите общий множитель: $V'$ сразу получится разложенной на множители.

Так считают объём открытой коробки из квадратного листа со стороной $a$ . Из углов вырезают квадраты со стороной $x$ и загибают края. Дно — квадрат со стороной $a - 2x$ , высота — $x$ , поэтому $0 < x < \frac{a}{2}$ .

Пример

Из квадратного листа жести со стороной 12 см делают открытую коробку: в углах вырезают одинаковые квадраты и загибают края. Какой должна быть сторона вырезанного квадрата, чтобы объём коробки был наибольшим? Найдите этот объём.

1.Пусть сторона выреза $x$ см. Дно — квадрат со стороной $12 - 2x$ , высота $x$ : $V(x) = x(12 - 2x)^2$ , $0 < x < 6$ .
2. $V'(x) = (12 - 2x)^2 + x \cdot 2(12 - 2x) \cdot (-2) = (12 - 2x)(12 - 2x - 4x) = (12 - 2x)(12 - 6x)$ .
3.На $(0; 6)$ множитель $12 - 2x > 0$ , поэтому знак $V'$ — знак $12 - 6x$ : «+» при $x < 2$ , «−» при $x > 2$ .
4. $V$ возрастает на $(0; 2]$ и убывает на $[2; 6)$ : $x = 2$ — единственная точка экстремума, это точка максимума. $V(2) = 2 \cdot 8^2 = 128$ .

Ответ: 2 см, объём 128 см $^3$

Вырез — шестая часть стороны

Для листа со стороной $a$ то же вычисление даёт $V'(x) = (a - 2x)(a - 6x)$ и точку максимума $x = \frac{a}{6}$ . Наибольший объём $V\left(\frac{a}{6}\right) = \frac{a}{6} \cdot \left(\frac{2a}{3}\right)^2 = \frac{2a^3}{27}$ .

Открытая коробка из листа

V(x) = x(12 - 2x)^2,\quad 0 < x < 6

V(4{,}5) = 4{,}5 \cdot 3^2 = 40{,}5

V'(4{,}5) = 3 \cdot (12 - 27) = -45

V' < 0

: при

x > 2

объём убывает, вырез слишком большой.

Двигайте угол выреза на листе или точку на графике объёма. Под графиком — объём и знак производной при текущем

x

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать