тема 5 из 19

Целевая функция прикладной задачи

В задании 17 по тексту составляют функцию одной переменной: величину, которую надо сделать наибольшей или наименьшей. Переменная — то, что в задаче можно выбирать: радиус, скорость, время, положение точки. Если неизвестных два, одно выражают через другое по условию. Область определения задаёт смысл задачи: длины и массы положительны, время неотрицательно, а границы из текста сужают промежуток.

Часто в задании17На карте навыков

Целевая функция задачи
—В аналитике

Из текста — функция одной переменной на области из условия

Целевая функция — величина из вопроса задачи (площадь, стоимость, мощность, расход), записанная через одну переменную. Её исследуют только на области, которую задаёт смысл задачи.

Выберите переменную — то, что можно менять. Если в тексте у неё уже есть буква ( $x$ , $v$ , $t$ ), возьмите эту букву.
Запишите величину из вопроса формулой. Готовые формулы условия подставьте одну в другую.
Если неизвестных два, выразите одно через другое по условию: объём, сумма масс, длина отрезка.
Запишите область: длины и массы положительны, время неотрицательно, плюс границы из текста.
Исследуйте функцию на этой области (обоснование оптимума) и ответьте на вопрос задачи.

Переменная — то, что можно выбирать

Переменная — величина, которую в задаче выбирает человек: инженер ставит сопротивление, водитель держит скорость, мастер выбирает угол сгиба. Ответ на вопрос «при каком…» — значение этой переменной. Когда в тексте буквы нет, обозначьте величину сами и напишите, что она значит и в каких единицах.

Если меняются две величины, но условие их связывает (сумма масс постоянна, объём задан), выразите одну через другую. Тогда целевая функция зависит от одной переменной.

Пример

Два тела движутся навстречу друг другу по одной прямой со скоростями $v = 3$ м/с и испытывают абсолютно неупругое соударение. Выделяется энергия $Q = \frac{2v^2 m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ Дж, где $m_1$ и $m_2$ — массы тел в кг. Суммарная масса тел равна 12 кг. Найдите наибольшую энергию, которая может выделиться при соударении, и массы тел, при которых это происходит. Ответ обоснуйте.

1.Пусть $m$ кг — масса первого тела. Тогда масса второго — $12 - m$ кг. Массы положительны: $0 < m < 12$ .
2. $Q(m) = \frac{2 \cdot 9 \cdot m(12 - m)}{12} = 1{,}5m(12 - m) = -1{,}5m^2 + 18m$ .
3.Это квадратичная функция с $a = -1{,}5 < 0$ . Она возрастает до вершины $m_0 = -\frac{18}{2 \cdot (-1{,}5)} = 6$ и убывает после неё (вершина параболы). $m_0 = 6$ лежит в области $(0; 12)$ .
4. $Q(6) = 1{,}5 \cdot 6 \cdot 6 = 54$ .

Ответ: 54 Дж при массах 6 кг и 6 кг

Формулы условия — одна в другую

В задаче из физики или техники обычно несколько формул: одна даёт промежуточную величину (силу тока, тормозной путь), другая — величину из вопроса. Подставьте первую во вторую. Получится функция той величины, которую выбирают. Числа подставьте сразу: с ними производная короче.

Область берут из физического смысла: сопротивление $R \ge 0$ , скорость $v > 0$ , время $t \ge 0$ . Слова «обратно пропорциональна толщине» означают $\frac{k}{x}$ ; число $k$ находят по данной паре значений: если при толщине 1 см потери стоят 300 тыс. рублей, то $k = 300$ (решение этой задачи).

Пример

По полосе дороги автомобили идут колонной с одинаковой скоростью $v$ м/с. Расстояние между передними бамперами соседних автомобилей равно $d = l_0 + s$ , где $l_0 = 10$ м, а $s$ — тормозной путь при торможении с ускорением $a = 5$ м/с²; он находится из формулы $v = \sqrt{2sa}$ . Пропускная способность полосы — число автомобилей, проезжающих мимо наблюдателя за единицу времени; она равна $N = \frac{v}{d}$ . Найдите наибольшую пропускную способность полосы в автомобилях в час и скорость, при которой она достигается. Обоснуйте ответ.

1.Из $v = \sqrt{10s}$ получаем $s = \frac{v^2}{10}$ , $d = 10 + \frac{v^2}{10}$ . Тогда $N(v) = \frac{v}{10 + \frac{v^2}{10}} = \frac{10v}{100 + v^2}$ автомобилей в секунду, $v > 0$ .
2. $N'(v) = \frac{10(100 + v^2) - 10v \cdot 2v}{(100 + v^2)^2} = \frac{10(10 - v)(10 + v)}{(100 + v^2)^2}$ . При $v > 0$ знак $N'$ — знак $10 - v$ .
3. $N$ возрастает на $(0; 10]$ и убывает на $[10; +\infty)$ , поэтому $N(10)$ — наибольшее значение: $N(10) = \frac{100}{200} = 0{,}5$ автомобиля в секунду.
4.В вопросе — автомобили в час: $0{,}5 \cdot 3600 = 1800$ .

Ответ: 1800 автомобилей в час при скорости 10 м/с

Расход на километр и на весь путь

Если дан расход за час $q(v)$ , а спрашивают расход на путь, переведите часы в километры. Один километр со скоростью $v$ км/ч занимает $\frac{1}{v}$ ч, поэтому расход на 1 км равен $\frac{q(v)}{v}$ , а на путь $s$ км — $\frac{s \cdot q(v)}{v}$ . Так же энергия на метр пути — мощность, делённая на скорость.

Расход за час растёт со скоростью, а время в пути убывает. Поэтому расход на путь часто наименьший при средней скорости, а не при самой малой.

Пример

Грузовик должен проехать 300 км по трассе с постоянной скоростью $v$ км/ч, причём $40 \le v \le 90$ . Расход топлива двигателем (в литрах в час) при скорости $v$ равен $q(v) = 9 + \frac{v^2}{400}$ . Найдите наименьший расход топлива на весь путь и скорость, при которой он достигается. Ответ обоснуйте.

1.Время в пути $\frac{300}{v}$ ч. Расход на путь $Q(v) = \frac{300}{v}\left(9 + \frac{v^2}{400}\right) = \frac{2700}{v} + 0{,}75v$ , $40 \le v \le 90$ .
2. $Q'(v) = -\frac{2700}{v^2} + 0{,}75 = \frac{0{,}75(v - 60)(v + 60)}{v^2}$ .
3.На отрезке $[40; 90]$ множители $v + 60$ и $v^2$ положительны: знак $Q'$ — знак $v - 60$ . $Q' < 0$ при $40 \le v < 60$ , $Q' > 0$ при $60 < v \le 90$ .
4. $Q$ убывает на $[40; 60]$ и возрастает на $[60; 90]$ , поэтому $Q(60)$ — наименьшее значение: $Q(60) = 45 + 45 = 90$ .

Ответ: 90 л при скорости 60 км/ч

Точка между двумя источниками

Если точка стоит на отрезке длины $L$ между двумя источниками, расстояние до первого — $x$ , до второго — $L - x$ . Вклады источников складываются: $f(x) = \frac{k_1}{x^2} + \frac{k_2}{(L - x)^2}$ . Расстояния стоят в знаменателе, поэтому концы не входят: $0 < x < L$ .

Знак производной здесь удобно сравнить по дробям: обе дроби с кубами положительны, и неравенство между ними сводится к неравенству между $x$ и $L - x$ .

Пример

Два точечных радиоактивных источника закреплены на прямой на расстоянии 5 м друг от друга. Мощность дозы, которую источник создаёт в точке на расстоянии $r$ метров от него, равна $D = \frac{k}{r^2}$ , где $k = 8$ мкЗв·м²/ч для первого источника и $k = 27$ мкЗв·м²/ч для второго. Дозиметрист может встать в любой точке между источниками: расстояние $x$ от первого источника удовлетворяет условию $0 < x < 5$ . Найдите наименьшую суммарную мощность дозы и расстояние от первого источника до этой точки. Ответ обоснуйте.

1. $D(x) = \frac{8}{x^2} + \frac{27}{(5 - x)^2}$ , $0 < x < 5$ .
2. $D'(x) = -\frac{16}{x^3} + \frac{54}{(5 - x)^3}$ .
3. $D'(x) > 0 \iff \frac{54}{(5 - x)^3} > \frac{16}{x^3} \iff 27x^3 > 8(5 - x)^3 \iff 3x > 2(5 - x) \iff x > 2$ . Так же $D'(x) < 0$ при $x < 2$ и $D'(2) = 0$ .
4. $D$ убывает на $(0; 2]$ и возрастает на $[2; 5)$ , поэтому $D(2)$ — наименьшее значение: $D(2) = \frac{8}{4} + \frac{27}{9} = 5$ .

Ответ: 5 мкЗв/ч в 2 м от первого источника

Размеры тела через одну переменную

У бака, коробки или печи несколько размеров, а условие (объём) их связывает. Выразите высоту через размер основания и подставьте в площадь: для цилиндра $V = \pi r^2h$ , поэтому $h = \frac{V}{\pi r^2}$ (объём цилиндра). Площадь считайте только по тем частям, которые есть: у открытого бака нет крышки.

Пример

Цех изготавливает из листовой стали открытый сверху цилиндрический бак для воды объёмом $8\pi$ м³. Бак состоит из круглого дна и боковой стенки; на швы металл не расходуется. Найдите радиус дна, при котором площадь израсходованного металла наименьшая, и вычислите эту площадь. Обоснуйте ответ.

1.Пусть $r$ м — радиус дна, $h$ м — высота, $r > 0$ . Из $\pi r^2h = 8\pi$ получаем $h = \frac{8}{r^2}$ .
2.Площадь дна и стенки (боковая поверхность): $S(r) = \pi r^2 + 2\pi rh = \pi r^2 + \frac{16\pi}{r}$ .
3. $S'(r) = 2\pi r - \frac{16\pi}{r^2} = \frac{2\pi(r^3 - 8)}{r^2} = \frac{2\pi(r - 2)(r^2 + 2r + 4)}{r^2}$ . При $r > 0$ знак $S'$ — знак $r - 2$ .
4. $S$ убывает на $(0; 2]$ и возрастает на $[2; +\infty)$ , поэтому $S(2)$ — наименьшее значение: $S(2) = 4\pi + 8\pi = 12\pi$ .

Ответ: радиус 2 м, площадь $12\pi$ м²

Узкий бак и широкий бак

При малом радиусе бак высокий и узкий, и почти весь металл уходит на стенку. При большом радиусе бак низкий, и почти весь металл уходит на дно. Поэтому площадь растёт у обоих краёв области $r > 0$ , а наименьшая она внутри. У открытого бака с наименьшей площадью высота равна радиусу, у закрытого — диаметру.

Бак заданного объёма

h = \frac{8}{r^2},\quad S(r) = \pi r^2 + \frac{16\pi}{r}

r = 1{,}2,\quad h \approx 5{,}56,\quad S \approx 14{,}77\pi

r < 2

S'(r) < 0

, бак узкий, и при росте

r

площадь убывает.

Объём бака не меняется, поэтому высота зависит от радиуса:

h = \frac{V}{\pi r^2}

. Кривая — площадь металла

S

как функция радиуса. Двигайте точку по кривой и переключайте открытый и закрытый бак.

Путь из двух частей

Груз или кабель идут сначала по прямой (шоссе, берег) до точки $M$ , потом напрямую к цели. Обозначьте $x$ — расстояние от $M$ до основания перпендикуляра из цели. Тогда первая часть пути — длина отрезка минус $x$ , а вторая — гипотенуза $\sqrt{x^2 + d^2}$ , где $d$ — расстояние от цели до прямой (теорема Пифагора). Стоимость — сумма длин частей, умноженных на цену километра.

Точка $M$ лежит на отрезке, поэтому область — отрезок, и концы входят: свернуть можно сразу или в самом конце.

Пример

Береговая линия озера — прямая. Подводная станция $M$ находится в озере на расстоянии 8 м от берега, ближайшая к ней точка берега — $B$ . Кабель прокладывают от распределительного узла $A$ , стоящего на берегу в 20 м от точки $B$ : сначала по берегу от $A$ до некоторой точки $C$ отрезка $AB$ , а затем по прямой под водой от $C$ до $M$ . Прокладка одного метра кабеля по берегу стоит 3 тыс. рублей, а под водой — 5 тыс. рублей. Найдите наименьшую возможную стоимость прокладки кабеля. Ответ обоснуйте.

1.Пусть $CB = x$ м, $0 \le x \le 20$ . Тогда $AC = 20 - x$ , $CM = \sqrt{x^2 + 64}$ .
2.Стоимость в тыс. рублей: $K(x) = 3(20 - x) + 5\sqrt{x^2 + 64}$ .
3. $K'(x) = -3 + \frac{5x}{\sqrt{x^2 + 64}} = \frac{5x - 3\sqrt{x^2 + 64}}{\sqrt{x^2 + 64}}$ (производная корня).
4.При $x \ge 0$ оба числа $5x$ и $3\sqrt{x^2 + 64}$ неотрицательны, поэтому знак их разности — знак разности квадратов: $25x^2 - 9(x^2 + 64) = 16(x - 6)(x + 6)$ . $K' < 0$ при $0 \le x < 6$ , $K' > 0$ при $6 < x \le 20$ .
5. $K$ убывает на $[0; 6]$ и возрастает на $[6; 20]$ , поэтому $K(6)$ — наименьшее значение: $K(6) = 3 \cdot 14 + 5 \cdot 10 = 92$ .

Ответ: 92 тыс. рублей

Область определения — из смысла задачи

Область записывают до исследования. Длина, масса и сопротивление неотрицательны; если величина стоит в знаменателе, она строго положительна. Время отсчитывают от начала опыта: $t \ge 0$ . Точка на отрезке длины $L$ даёт $0 \le x \le L$ , угол сгиба — $0^\circ < \alpha \le 90^\circ$ . Границы из текста («по техническим причинам $0 \le x \le 6$ », «пока численность не больше 64») сужают область.

Корень производной вне области отбрасывают и пишут почему. Если переменная — число штук, она целая: проверьте, что найденная точка целая, иначе сравните значения в двух соседних целых точках.

Пример

Мастерская собирает электронагреватели. Если за месяц собрать $x$ приборов, то каждый прибор удаётся продать по цене $(3000 - 20x)$ рублей, а все затраты мастерской за месяц составляют $(1000x + 4000)$ рублей. Объём выпуска $x$ — целое число, причём $0 \le x \le 140$ . Найдите наибольшую месячную прибыль мастерской. Ответ дайте в рублях. Ответ обоснуйте.

1.Прибыль — выручка минус затраты (прибыль): $\Pi(x) = x(3000 - 20x) - (1000x + 4000) = -20x^2 + 2000x - 4000$ . Область: целые $x$ от 0 до 140.
2. $a = -20 < 0$ , вершина $x_0 = -\frac{2000}{2 \cdot (-20)} = 50$ . Число 50 целое и лежит на $[0; 140]$ .
3.Прибыль возрастает до $x = 50$ и убывает после (вершина параболы), поэтому $\Pi(50)$ — наибольшее значение: $\Pi(50) = -50\,000 + 100\,000 - 4000 = 46\,000$ .

Ответ: 46 000 рублей

Сколько времени выполнено условие

Если тело должно быть выше уровня не меньше заданного времени, составьте неравенство $h(t) \ge c$ . Для квадратичной $h(t)$ с ветвями вниз оно выполнено между корнями уравнения $h(t) = c$ (квадратное неравенство). Время над уровнем — разность корней: $t_2 - t_1 = \frac{\sqrt{D}}{|a|}$ , где $D$ и $a$ — дискриминант и старший коэффициент этого уравнения.

Пример

Мяч подбрасывают вертикально вверх с высоты 2 м с начальной скоростью $v$ м/с. Высота мяча над землёй (в метрах) меняется по закону $h(t) = 2 + vt - 5t^2$ , где $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. По условиям тренировки мяч должен находиться на высоте не менее 8 метров не менее 1,4 секунды. Найдите наименьшую начальную скорость $v$ , при которой это возможно. Ответ дайте в метрах в секунду. Ответ обоснуйте.

1. $2 + vt - 5t^2 \ge 8 \iff 5t^2 - vt + 6 \le 0$ . Старший коэффициент положителен, поэтому неравенство выполнено на отрезке между корнями; корни есть при $D = v^2 - 120 > 0$ .
2.Корни $t_{1,2} = \frac{v \mp \sqrt{v^2 - 120}}{10}$ положительны: их произведение $\frac{6}{5} > 0$ , сумма $\frac{v}{5} > 0$ . Время на высоте не менее 8 м: $t_2 - t_1 = \frac{\sqrt{v^2 - 120}}{5}$ .
3. $\frac{\sqrt{v^2 - 120}}{5} \ge 1{,}4 \iff \sqrt{v^2 - 120} \ge 7 \iff v^2 \ge 169$ . Так как $v > 0$ , условие выполнено при $v \ge 13$ и не выполнено при $v < 13$ .

Ответ: 13 м/с

Ответ — на вопрос задачи

Перечитайте вопрос перед ответом. «При каком…» спрашивает точку, «чему равна наибольшая…» — значение; часто нужно и то и другое. Если спрашивают тангенс угла или размеры бака, запишите их, а не только переменную. Единицы ответа — те, что названы в вопросе: автомобили в час, а не в секунду; литры на 100 км, а не на 1 км.

Если величина из вопроса пропорциональна другой с положительным множителем (мощность излучения — площади), исследуйте более простую величину, а в конце пересчитайте ответ.

Пример

Промышленную печь делают в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием и объёмом 8 м³. Вся внешняя поверхность печи (включая основание и крышку) нагрета до температуры $T = 1000$ К и излучает тепло по закону Стефана — Больцмана $P = \sigma ST^4$ , где $P$ — мощность излучения (в Вт), $S$ — площадь поверхности (в м²), $\sigma = 5{,}7 \cdot 10^{-8}$ Вт/(м²·К⁴). Инженер выбирает сторону основания $a$ (в метрах). Найдите наименьшую возможную мощность теплового излучения печи. Ответ дайте в ваттах. Ответ обоснуйте.

1. $\sigma T^4 > 0$ — постоянный множитель, поэтому $P$ наименьшая там же, где наименьшая площадь $S$ .
2.Высота $h = \frac{8}{a^2}$ , $a > 0$ . Площадь двух квадратов и четырёх граней: $S(a) = 2a^2 + 4ah = 2a^2 + \frac{32}{a}$ .
3. $S'(a) = 4a - \frac{32}{a^2} = \frac{4(a - 2)(a^2 + 2a + 4)}{a^2}$ . При $a > 0$ знак $S'$ — знак $a - 2$ : $S$ убывает на $(0; 2]$ и возрастает на $[2; +\infty)$ .
4. $S(2) = 8 + 16 = 24$ — наименьшая площадь. В вопросе — мощность: $P = 5{,}7 \cdot 10^{-8} \cdot 24 \cdot 10^{12} = 1\,368\,000$ .

Ответ: 1 368 000 Вт

Проверьте себя

Все задания на этот навык

Решать